同济高数 第2章 第2-1-17题
📝 题目
17．设函数
$$ f(x)= \begin{cases}x^{2}, & x \leqslant 1 \\ a x+b, & x\gt 1\end{cases} $$
为了使函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续且可导，$a, b$ 应取什么值？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 要使函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处连续且可导，需要满足两个条件：
**第一步：连续性条件** 在 $x=1$ 处连续，即左极限等于右极限且等于函数值。 左极限： $$ \lim_{x \to 1^{-}} f(x) = \lim_{x \to 1^{-}} x^{2} = 1^{2} = 1 $$ 右极限： $$ \lim_{x \to 1^{+}} f(x) = \lim_{x \to 1^{+}} (a x + b) = a \cdot 1 + b = a + b $$ 由连续性得： $$ a + b = 1 $$
**第二步：可导性条件** 在 $x=1$ 处可导，即左导数等于右导数。 左导数（用定义或直接求导）： 当 $x \leq 1$ 时，$f'(x) = 2x$，所以 $$ f'_{-}(1) = 2 \cdot 1 = 2 $$ 右导数： 当 $x > 1$ 时，$f'(x) = a$，所以 $$ f'_{+}(1) = a $$ 由可导性得： $$ a = 2 $$
**第三步：解出参数** 由 $a = 2$ 代入连续性条件 $a + b = 1$，得 $$ 2 + b = 1 \quad \Rightarrow \quad b = -1 $$
因此， $$ \boxed{a = 2,\quad b = -1} $$
难度：★☆☆☆☆