同济高数 第2章 第2-1-16题
📝 题目
16．讨论下列函数在 $x=0$ 处的连续性与可导性： （1）$y=|\sin x|$ ； （2）$\displaystyle y= \begin{cases}x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 .\end{cases}$
💡 答案解析
[AI解答]
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我们分别讨论两个函数在 $x=0$ 处的连续性与可导性。
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### （1）$y = |\sin x|$
**连续性**： 由于 $\sin x$ 在 $x=0$ 处连续，且绝对值函数是连续函数，复合函数 $|\sin x|$ 在 $x=0$ 处也连续。 更严格地， $$ \lim_{x \to 0} |\sin x| = |\sin 0| = 0 = y(0) $$ 所以连续。
**可导性**： 考虑导数定义： $$ \lim_{x \to 0} \frac{|\sin x| - |\sin 0|}{x - 0} = \lim_{x \to 0} \frac{|\sin x|}{x} $$ 当 $x \to 0^+$ 时，$\sin x > 0$，所以 $|\sin x| = \sin x$，极限为： $$ \lim_{x \to 0^+} \frac{\sin x}{x} = 1 $$ 当 $x \to 0^-$ 时，$\sin x < 0$，所以 $|\sin x| = -\sin x$，极限为： $$ \lim_{x \to 0^-} \frac{-\sin x}{x} = -1 $$ 左右导数不相等，因此在 $x=0$ 处不可导。
结论：连续，但不可导。
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### （2）$y = \begin{cases} x^{2} \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0, \\ 0, & x=0 \end{cases}$
**连续性**： 当 $x \neq 0$ 时，函数由初等函数构成，只需考虑 $x \to 0$ 的极限： $$ \lim_{x \to 0} x^{2} \sin \frac{1}{x} $$ 由于 $|\sin(1/x)| \leq 1$，有： $$ 0 \leq |x^{2} \sin \frac{1}{x}| \leq x^{2} \to 0 $$ 由夹逼准则得： $$ \lim_{x \to 0} x^{2} \sin \frac{1}{x} = 0 = y(0) $$ 所以连续。
**可导性**： 用导数定义： $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^{2} \sin \frac{1}{x} - 0}{x - 0} = \lim_{x \to 0} x \sin \frac{1}{x} $$ 同样，$|\sin(1/x)| \leq 1$，所以： $$ 0 \leq |x \sin \frac{1}{x}| \leq |x| \to 0 $$ 由夹逼准则得极限为 0，因此导数存在且为 0。
结论：连续且可导。
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**难度评级**：★★☆☆☆