同济高数 第2章 第2-1-3题
📝 题目
3．设某工厂生产 $x$ 件产品的成本为
$$ C(x)=2000+100 x-0.1 x^{2}(\text { 元 }), $$
这函数 $C(x)$ 称为成本函数，成本函数 $C(x)$ 的导数 $C^{\prime}(x)$ 在经济学中称为边际成本．试求 （1）当生产 100 件产品时的边际成本； （2）生产第 101 件产品的成本，并与（1）中求得的边际成本作比较，说明边际成本的实际意义．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] **（1）求边际成本** 已知成本函数为 $$ C(x)=2000+100x-0.1x^{2} $$ 边际成本定义为 $$ C'(x)=\displaystyle{}\frac{d}{dx}\left(2000+100x-0.1x^{2}\right) $$ 逐项求导： - 常数项导数为 $0$； - $100x$ 导数为 $100$； - $-0.1x^{2}$ 导数为 $-0.2x$。
因此 $$ C'(x)=100-0.2x $$ 当 $x=100$ 时， $$ C'(100)=100-0.2\times100=100-20=80\ (\text{元}) $$ 所以生产 100 件产品时的边际成本为 **80 元**。
**（2）生产第 101 件产品的成本并与边际成本比较** 生产第 101 件产品的成本，即 $$ C(101)-C(100) $$ 先计算： $$ C(100)=2000+100\times100-0.1\times100^{2}=2000+10000-1000=11000 $$ $$ C(101)=2000+10100-0.1\times10201=2000+10100-1020.1=11079.9 $$ 因此 $$ C(101)-C(100)=11079.9-11000=79.9\ (\text{元}) $$
**比较与说明** 边际成本 $C'(100)=80$ 元，而实际生产第 101 件的成本为 $79.9$ 元，两者非常接近。 这说明 **边际成本 $C'(x)$ 近似表示生产第 $x+1$ 件产品所增加的成本**，在经济学中用于衡量增加一单位产量时总成本的增量，是决策产量的重要参考指标。
难度：★☆☆☆☆