同济高数 第2章 第2-1-9题
📝 题目
9．求下列函数的导数： （1）$y=x^{4}$ ； （2）$y=\sqrt[3]{x^{2}}$ ； （3）$y=x^{1.6}$ ； （4）$\displaystyle y=\frac{1}{\sqrt{x}}$ ； （5）$\displaystyle y=\frac{1}{x^{2}}$ ； （6）$y=x^{3} \sqrt[5]{x}$ ； （7）$\displaystyle y=\frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{x^{5}}}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们使用幂函数求导公式：若 $y = x^n$，则 $y' = n x^{n-1}$。 以下逐题求解。
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（1）$y = x^{4}$ $$ y' = 4x^{4-1} = 4x^{3} $$
（2）$y = \sqrt[3]{x^{2}} = x^{\frac{2}{3}}$ $$ y' = \frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1} = \frac{2}{3} x^{-\frac{1}{3}} = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} $$
（3）$y = x^{1.6}$ $$ y' = 1.6 x^{1.6-1} = 1.6 x^{0.6} $$
（4）$y = \frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-\frac{1}{2}}$ $$ y' = -\frac{1}{2} x^{-\frac{1}{2} - 1} = -\frac{1}{2} x^{-\frac{3}{2}} = -\frac{1}{2x^{\frac{3}{2}}} $$
（5）$y = \frac{1}{x^{2}} = x^{-2}$ $$ y' = -2 x^{-3} = -\frac{2}{x^{3}} $$
（6）$y = x^{3} \sqrt[5]{x} = x^{3} \cdot x^{\frac{1}{5}} = x^{\frac{16}{5}}$ $$ y' = \frac{16}{5} x^{\frac{16}{5} - 1} = \frac{16}{5} x^{\frac{11}{5}} = \frac{16}{5} x^{2.2} $$
（7）$y = \frac{x^{2} \sqrt[3]{x^{2}}}{\sqrt{x^{5}}}$ 先化简： 分子：$x^{2} \cdot x^{\frac{2}{3}} = x^{\frac{8}{3}}$ 分母：$\sqrt{x^{5}} = x^{\frac{5}{2}}$ 所以 $$ y = x^{\frac{8}{3} - \frac{5}{2}} = x^{\frac{16}{6} - \frac{15}{6}} = x^{\frac{1}{6}} $$ 求导： $$ y' = \frac{1}{6} x^{\frac{1}{6} - 1} = \frac{1}{6} x^{-\frac{5}{6}} = \frac{1}{6 \sqrt[6]{x^{5}}} $$
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难度评级：★☆☆☆☆ （全部为幂函数直接求导，仅需掌握基本公式与指数化简）