同济高数 第2章 第2-2-1题
📝 题目
1．推导余切函数及余割函数的导数公式：
$$ (\cot x)^{\prime}=-\csc ^{2} x, \quad(\csc x)^{\prime}=-\csc x \cot x $$
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们根据导数的定义和已知的三角函数导数公式来推导。
**第一步：推导余切函数的导数** 已知 $$ \cot x = \frac{\cos x}{\sin x} $$ 利用商的导数公式 $$ \left( \frac{u}{v} \right)' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ 令 $ u = \cos x, v = \sin x $，则 $$ u' = -\sin x,\quad v' = \cos x $$ 代入公式： $$ (\cot x)' = \frac{(-\sin x)(\sin x) - (\cos x)(\cos x)}{\sin^2 x} = \frac{-\sin^2 x - \cos^2 x}{\sin^2 x} $$ 分子提取负号并利用 $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$： $$ (\cot x)' = -\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin^2 x} = -\frac{1}{\sin^2 x} $$ 而 $\displaystyle \csc x = \frac{1}{\sin x}$，所以 $\displaystyle \csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$，因此 $$ (\cot x)' = -\csc^2 x $$ 公式得证。
**第二步：推导余割函数的导数** 已知 $$ \csc x = \frac{1}{\sin x} $$ 可视为 $(\sin x)^{-1}$，用链式法则： $$ (\csc x)' = \frac{d}{dx} (\sin x)^{-1} = -1 \cdot (\sin x)^{-2} \cdot \cos x $$ 即 $$ (\csc x)' = -\frac{\cos x}{\sin^2 x} $$ 将其拆分为： $$ (\csc x)' = -\frac{1}{\sin x} \cdot \frac{\cos x}{\sin x} = -\csc x \cot x $$ 公式得证。
因此，我们得到： $$ \boxed{(\cot x)' = -\csc^2 x,\quad (\csc x)' = -\csc x \cot x} $$
难度：★☆☆☆☆