同济高数 第2章 第2-2-5题
📝 题目
5．求曲线 $y=2 \sin x+x^{2}$ 上横坐标为 $x=0$ 的点处的切线方程和法线方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知曲线方程为 $$ y = 2\sin x + x^{2} $$ 先求导数： $$ y' = 2\cos x + 2x $$ 当横坐标 $x = 0$ 时， $$ y(0) = 2\sin 0 + 0^{2} = 0 $$ $$ y'(0) = 2\cos 0 + 2\cdot 0 = 2 $$ 所以切点坐标为 $(0, 0)$，切线斜率为 $k = 2$。
切线方程为 $$ y - 0 = 2(x - 0) $$ 即 $$ y = 2x $$
法线斜率为切线斜率的负倒数： $$ k_{\text{法}} = -\frac{1}{2} $$ 法线方程为 $$ y - 0 = -\frac{1}{2}(x - 0) $$ 即 $$ y = -\frac{1}{2}x $$
因此，所求切线方程为 $y = 2x$，法线方程为 $y = -\dfrac{1}{2}x$。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求曲线在x=0处的函数值和导数值
将x=0代入曲线方程y=2sin x+x^2，得y(0)=2sin0+0^2=0；求导得y'=2cos x+2x，代入x=0得y'(0)=2cos0+2·0=2。
公式：y' = 2cos x + 2x
提示：注意sin0=0，cos0=1。
步骤 2/3
目标：写出切线方程
切点为(0,0)，切线斜率k=2，由点斜式得切线方程：y-0=2(x-0)，即y=2x。
公式：y - y0 = k(x - x0)
提示：点斜式方程中，k为切线斜率。
步骤 3/3
目标：写出法线方程
法线斜率为切线斜率的负倒数：k_法=-1/2，由点斜式得法线方程：y-0=(-1/2)(x-0)，即y=-1/2 x。
公式：k_法 = -1/k
提示：法线与切线垂直，斜率乘积为-1。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。