同济高数 第2章 第2-3-3题
📝 题目
3．设 $f^{\prime \prime}(x)$ 存在，求下列函数的二阶导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}$ ： （1）$y=f\left(x^{2}\right)$ ； （2）$y=\ln [f(x)]$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**（1）** 已知 $ y = f(x^2) $，且 $ f''(x) $ 存在。
首先求一阶导数： $$ \frac{dy}{dx} = f'(x^2) \cdot 2x = 2x f'(x^2) $$
再求二阶导数，使用乘积法则： $$ \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx} \left[ 2x f'(x^2) \right] = 2 f'(x^2) + 2x \cdot f''(x^2) \cdot 2x $$ $$ = 2 f'(x^2) + 4x^2 f''(x^2) $$
因此： $$ \boxed{\frac{d^2 y}{dx^2} = 2 f'(x^2) + 4x^2 f''(x^2)} $$
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**（2）** 已知 $ y = \ln[f(x)] $，且 $ f''(x) $ 存在。
一阶导数： $$ \frac{dy}{dx} = \frac{f'(x)}{f(x)} $$
二阶导数，使用商法则： $$ \frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{f''(x) f(x) - [f'(x)]^2}{[f(x)]^2} $$
因此： $$ \boxed{\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{f(x) f''(x) - [f'(x)]^2}{[f(x)]^2}} $$
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难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求 y=f(x^2) 的一阶导数
令 u=x^2，则 y=f(u)，由链式法则得 dy/dx = f'(u) * du/dx = f'(x^2) * 2x = 2x f'(x^2)。
公式：dy/dx = 2x f'(x^2)
提示：注意复合函数求导时，外层函数导数在内层函数处取值。
步骤 2/4
目标：求 y=f(x^2) 的二阶导数
对一阶导数 2x f'(x^2) 使用乘积法则：d^2y/dx^2 = 2 f'(x^2) + 2x * d/dx[f'(x^2)]。再对 f'(x^2) 求导得 f''(x^2)*2x，代入得 d^2y/dx^2 = 2 f'(x^2) + 4x^2 f''(x^2)。
公式：d^2y/dx^2 = 2 f'(x^2) + 4x^2 f''(x^2)
提示：乘积法则： (uv)' = u'v + uv'。
步骤 3/4
目标：求 y=ln[f(x)] 的一阶导数
由复合函数求导法则：dy/dx = (1/f(x)) * f'(x) = f'(x)/f(x)。
公式：dy/dx = f'(x)/f(x)
提示：ln(u) 的导数为 u'/u。
步骤 4/4
目标：求 y=ln[f(x)] 的二阶导数
对一阶导数 f'(x)/f(x) 使用商法则：d^2y/dx^2 = [f''(x) f(x) - f'(x) f'(x)] / [f(x)]^2 = [f(x) f''(x) - (f'(x))^2] / [f(x)]^2。
公式：d^2y/dx^2 = [f(x) f''(x) - (f'(x))^2] / [f(x)]^2
提示：商法则：(u/v)' = (u'v - uv')/v^2。
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