同济高数 第2章 第2-3-5题
📝 题目
5．已知物体的运动规律为 $s=A \sin \omega t$（ $A, \omega$ 是常数），求该物体运动的加速度，并验证：
$$ \frac{\mathrm{d}^{2} s}{\mathrm{~d} t^{2}}+\omega^{2} s=0 $$
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知物体的运动规律为 $$ s = A \sin(\omega t), $$ 其中 $A$ 和 $\omega$ 是常数。 速度 $v$ 是位移对时间的一阶导数：
$$ v = \frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t} = A \omega \cos(\omega t). $$
加速度 $a$ 是速度对时间的一阶导数，即位移对时间的二阶导数：
$$ a = \frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d}t^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\big(A \omega \cos(\omega t)\big) = -A \omega^2 \sin(\omega t). $$
因此加速度表达式为 $$ \frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d}t^2} = -A \omega^2 \sin(\omega t). $$
现在验证所给方程：
$$ \frac{\mathrm{d}^2 s}{\mathrm{d}t^2} + \omega^2 s = -A \omega^2 \sin(\omega t) + \omega^2 \big(A \sin(\omega t)\big) = 0. $$
等式成立，验证完毕。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求速度
速度是位移对时间的一阶导数：v = ds/dt = Aω cos(ωt)。
公式：v = ds/dt
提示：对 sin(ωt) 求导得 ω cos(ωt)。
步骤 2/3
目标：求加速度
加速度是速度对时间的一阶导数，即位移对时间的二阶导数：a = dv/dt = d²s/dt² = -Aω² sin(ωt)。
公式：a = d²s/dt²
提示：对 cos(ωt) 求导得 -ω sin(ωt)。
步骤 3/3
目标：验证方程
将加速度表达式和位移代入方程：d²s/dt² + ω²s = -Aω² sin(ωt) + ω²(A sin(ωt)) = 0。
公式：d²s/dt² + ω²s = 0
提示：注意 ω²s = ω² A sin(ωt)。
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