同济高数 第2章 第2-3-7题
📝 题目
7．假设质点沿 $x$ 轴运动的速度为 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t}=f(x)$ ，试求该质点运动的加速度．
💡 答案解析
[AI解答]
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已知质点沿 $x$ 轴运动的速度为 $$ \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} = f(x) $$ 加速度定义为速度对时间的变化率，即 $$ a = \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{~d} t} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\left( \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} \right) $$ 这里 $v = f(x)$，而 $x$ 本身是 $t$ 的函数，因此需要用链式法则：
$$ a = \frac{\mathrm{d} f(x)}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} f}{\mathrm{d} x} \cdot \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} $$ 代入 $\frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{~d} t} = f(x)$，得 $$ a = f'(x) \cdot f(x) $$ 即 $$ a = f(x) \, f'(x) $$ 也可以写成 $$ a = \frac{1}{2} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x}\left[ f(x)^2 \right] $$ 这是另一种常见表达形式。
因此，质点运动的加速度为 $$ \boxed{a = f(x) f'(x)} $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：明确加速度定义
加速度是速度对时间的变化率，即 a = dv/dt，其中 v = dx/dt。
公式：a = dv/dt
提示：注意速度是位置 x 的函数，而 x 又是时间 t 的函数。
步骤 2/3
目标：应用链式法则求导
由于 v = f(x) 且 x = x(t)，使用链式法则：dv/dt = (df/dx) * (dx/dt)。
公式：dv/dt = f'(x) * dx/dt
提示：链式法则是处理复合函数求导的关键。
步骤 3/3
目标：代入已知速度表达式
将 dx/dt = f(x) 代入上一步结果，得到 a = f'(x) * f(x)。
公式：a = f(x) f'(x)
提示：最终结果简洁，注意 f(x) 和 f'(x) 都是 x 的函数。
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