同济高数 第2章 第2-4-8题

教材习题

📝 题目

8．写出下列曲线在所给参数值相应的点处的切线方程和法线方程： （1）$\left\{\begin{array}{l}x=\sin t, \\ y=\cos 2 t,\end{array}\right.$ 在 $\displaystyle t=\frac{\pi}{4}$ 处； （2）$\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x=\frac{3 a t}{1+t^{2}}, \\ y=\frac{3 a t^{2}}{1+t^{2}},\end{array}\right.$ 在 $t=2$ 处．

💡 答案解析

[AI解答]

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(1) 曲线参数方程为 $$ \begin{cases} x = \sin t, \\ y = \cos 2t, \end{cases} \quad t = \frac{\pi}{4}. $$ 先求对应点坐标： $$ x_0 = \sin\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad y_0 = \cos\frac{2\pi}{4} = \cos\frac{\pi}{2} = 0. $$ 求导数： $$ \frac{dx}{dt} = \cos t, \quad \frac{dy}{dt} = -2\sin 2t. $$ 在 $t=\frac{\pi}{4}$ 处： $$ \frac{dx}{dt}\Big|_{t=\frac{\pi}{4}} = \cos\frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}, \quad \frac{dy}{dt}\Big|_{t=\frac{\pi}{4}} = -2\sin\frac{\pi}{2} = -2. $$ 切线斜率 $$ k = \frac{dy}{dx} = \frac{\displaystyle\frac{dy}{dt}}{\displaystyle\frac{dx}{dt}} = \frac{-2}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = -2\sqrt{2}. $$ 切线方程： $$ y - 0 = -2\sqrt{2}\left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \quad\Rightarrow\quad y = -2\sqrt{2}\,x + 2. $$ 法线斜率 $k_{\perp} = \frac{1}{2\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{4}$，法线方程： $$ y = \frac{\sqrt{2}}{4}\left(x - \frac{\sqrt{2}}{2}\right) \quad\Rightarrow\quad y = \frac{\sqrt{2}}{4}x - \frac{1}{4}. $$

(2) 曲线参数方程为 $$ \begin{cases} x = \dfrac{3at}{1+t^{2}}, \$$6pt] y = \dfrac{3at^{2}}{1+t^{2}}, \end{cases} \quad t=2. $$ 先求对应点： $$ x_0 = \frac{3a\cdot 2}{1+4} = \frac{6a}{5},\quad y_0 = \frac{3a\cdot 4}{5} = \frac{12a}{5}. $$ 求导： $$ \frac{dx}{dt} = 3a\cdot\frac{(1+t^2) - t(2t)}{(1+t^2)^2} = 3a\cdot\frac{1 - t^2}{(1+t^2)^2}, $$ $$ \frac{dy}{dt} = 3a\cdot\frac{2t(1+t^2) - t^2(2t)}{(1+t^2)^2} = 3a\cdot\frac{2t}{(1+t^2)^2}. $$ 在 $t=2$ 处： $$ \frac{dx}{dt}\Big|_{t=2} = 3a\cdot\frac{1-4}{(1+4)^2} = 3a\cdot\frac{-3}{25} = -\frac{9a}{25}, $$ $$ \frac{dy}{dt}\Big|_{t=2} = 3a\cdot\frac{4}{(5)^2} = \frac{12a}{25}. $$ 切线斜率 $$ k = \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{12a}{25}}{-\frac{9a}{25}} = -\frac{4}{3}. $$ 切线方程： $$ y - \frac{12a}{5} = -\frac{4}{3}\left(x - \frac{6a}{5}\right). $$ 化简： $$ y = -\frac{4}{3}x + \frac{8a}{5} + \frac{12a}{5} = -\frac{4}{3}x + 4a. $$ 法线斜率 $k_{\perp} = \frac{3}{4}$，法线方程： $$ y - \frac{12a}{5} = \frac{3}{4}\left(x - \frac{6a}{5}\right) \quad\Rightarrow\quad y = \frac{3}{4}x - \frac{9a}{10} + \frac{12a}{5} = \frac{3}{4}x + \frac{3a}{2}. $$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：求曲线在给定参数值处的点坐标
对于(1)，将t=π/4代入x=sin t, y=cos 2t，得x0=√2/2, y0=0。对于(2)，将t=2代入x=3at/(1+t^2), y=3at^2/(1+t^2)，得x0=6a/5, y0=12a/5。
提示：注意三角函数值计算准确，分式化简正确。
步骤 2/6
目标：求参数方程的一阶导数
对于(1)，dx/dt=cos t, dy/dt=-2sin 2t。对于(2)，dx/dt=3a(1-t^2)/(1+t^2)^2, dy/dt=6at/(1+t^2)^2。
公式：dx/dt, dy/dt
提示：利用商的求导法则。
步骤 3/6
目标：计算给定参数值处的导数值
对于(1)，在t=π/4处，dx/dt=√2/2, dy/dt=-2。对于(2)，在t=2处，dx/dt=-9a/25, dy/dt=12a/25。
提示：代入时注意符号。
步骤 4/6
目标：求切线斜率
切线斜率k=dy/dx=(dy/dt)/(dx/dt)。对于(1)，k=-2/(√2/2)=-2√2。对于(2)，k=(12a/25)/(-9a/25)=-4/3。
公式：k = dy/dx = (dy/dt)/(dx/dt)
提示：注意分母不为零。
步骤 5/6
目标：写出切线方程
切线方程形式：y-y0=k(x-x0)。对于(1)，y-0=-2√2(x-√2/2)，化简得y=-2√2 x+2。对于(2)，y-12a/5=(-4/3)(x-6a/5)，化简得y=(-4/3)x+4a。
公式：y - y0 = k(x - x0)
提示：化简时注意合并常数项。
步骤 6/6
目标：求法线斜率并写出法线方程
法线斜率k⊥=-1/k。对于(1)，k⊥=1/(2√2)=√2/4，法线方程：y-0=(√2/4)(x-√2/2)，化简得y=(√2/4)x-1/4。对于(2)，k⊥=3/4，法线方程：y-12a/5=(3/4)(x-6a/5)，化简得y=(3/4)x+3a/2。
公式：k⊥ = -1/k, 法线方程: y - y0 = k⊥(x - x0)
提示：注意法线斜率与切线斜率互为负倒数。

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