同济高数 第2章 第2-5-6题
📝 题目
6．设扇形的圆心角 $\alpha=60^{\circ}$ ，半径 $R=100 \mathrm{~cm}$（图2－14）．如果 $R$ 不变，$\alpha$ 减少 $30^{\prime}$ ，问扇形面积大约改变了多少？又如果 $\alpha$ 不变，$R$ 增加 1 cm ，问扇形面积大约改变了多少？
💡 答案解析
[AI解答]
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本题考察扇形面积的全微分近似计算。扇形面积公式为 $$ S = \frac{1}{2} R^2 \alpha, $$ 其中 $\alpha$ 需用弧度制。已知初始条件： $\displaystyle \alpha = 60^\circ = \frac{\pi}{3}$ 弧度，$R = 100\ \mathrm{cm}$。 变化量： 第一问：$\Delta \alpha = -30'$，注意 $\displaystyle 1' = \frac{1}{60}^\circ = \frac{\pi}{10800}$ 弧度，所以 $$ \Delta \alpha = -30 \times \frac{\pi}{10800} = -\frac{\pi}{360}\ \text{弧度}. $$ $R$ 不变，即 $\Delta R = 0$。
面积的全微分近似为 $$ \mathrm{d}S = \frac{\partial S}{\partial R} \mathrm{d}R + \frac{\partial S}{\partial \alpha} \mathrm{d}\alpha. $$ 计算偏导数： $$ \frac{\partial S}{\partial R} = R\alpha,\quad \frac{\partial S}{\partial \alpha} = \frac{1}{2}R^2. $$ 代入初始值： $$ \frac{\partial S}{\partial R} = 100 \times \frac{\pi}{3} = \frac{100\pi}{3},\quad \frac{\partial S}{\partial \alpha} = \frac{1}{2} \times 100^2 = 5000. $$
**第一问**：$\mathrm{d}R = 0$，$\displaystyle \mathrm{d}\alpha = -\frac{\pi}{360}$， $$ \Delta S \approx \mathrm{d}S = 0 + 5000 \times \left(-\frac{\pi}{360}\right) = -\frac{5000\pi}{360} = -\frac{125\pi}{9}. $$ 数值近似：$\pi \approx 3.1416$， $$ \Delta S \approx -\frac{125 \times 3.1416}{9} \approx -\frac{392.7}{9} \approx -43.63\ \mathrm{cm}^2. $$ 所以面积大约减少 $43.63\ \mathrm{cm}^2$。
**第二问**：$\alpha$ 不变，$\mathrm{d}\alpha = 0$，$R$ 增加 1 cm，即 $\mathrm{d}R = 1$， $$ \Delta S \approx \mathrm{d}S = \frac{100\pi}{3} \times 1 + 0 = \frac{100\pi}{3}. $$ 数值近似： $$ \Delta S \approx \frac{100 \times 3.1416}{3} \approx \frac{314.16}{3} \approx 104.72\ \mathrm{cm}^2. $$ 所以面积大约增加 $104.72\ \mathrm{cm}^2$。
**最终答案** (1) 扇形面积大约减少 $\displaystyle{}-\frac{125\pi}{9}\ \mathrm{cm}^2$（约 $-43.63\ \mathrm{cm}^2$）。 (2) 扇形面积大约增加 $\displaystyle{}\frac{100\pi}{3}\ \mathrm{cm}^2$（约 $104.72\ \mathrm{cm}^2$）。
难度：★★☆☆☆