同济高数 第2章 第2-5-5题
📝 题目
5．如图 2－13 所示的电缆 $\overparen{A O B}$ 的长为 $s$ ，跨度为 $2 l$ ，电缆的最低点 $O$ 与杆顶连线 $A B$ 的距离为 $f$ ，则电缆长可按下面公式计算
$$ s=2 l\left(1+\frac{2 f^{2}}{3 l^{2}}\right) $$
当 $f$ 变化了 $\Delta f$ 时，电缆长的变化约为多少？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们已知电缆长度公式为： $$ s = 2l \left(1 + \frac{2 f^{2}}{3 l^{2}}\right) $$ 这里 $l$ 是常数（跨度的一半），$f$ 是变量。
当 $f$ 变化了 $\Delta f$ 时，电缆长的变化 $\Delta s$ 可以用微分近似计算，即： $$ \Delta s \approx ds = s'(f) \cdot \Delta f $$
首先对 $s$ 关于 $f$ 求导： $$ s(f) = 2l + \frac{4l}{3l^{2}} f^{2} = 2l + \frac{4}{3l} f^{2} $$ 因此： $$ s'(f) = \frac{8}{3l} f $$
于是电缆长的变化约为： $$ \Delta s \approx \frac{8f}{3l} \cdot \Delta f $$
所以答案为： $$ \boxed{\Delta s \approx \frac{8f}{3l} \Delta f} $$
难度评级：★☆☆☆☆ （仅需简单微分，代入公式即可）
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出电缆长度公式
已知电缆长度公式为 s = 2l(1 + 2f^2/(3l^2))，其中 l 为常数，f 为变量。
公式：s = 2l(1 + 2f^2/(3l^2))
提示：注意 f 是变量，l 是常数。
步骤 2/4
目标：化简公式以便求导
将公式展开：s = 2l + (4l/(3l^2)) f^2 = 2l + (4/(3l)) f^2。
公式：s = 2l + (4/(3l)) f^2
提示：化简后更容易求导。
步骤 3/4
目标：对 s 关于 f 求导
对 s 求导：s'(f) = d/df [2l + (4/(3l)) f^2] = (8/(3l)) f。
公式：s'(f) = (8f)/(3l)
提示：常数项导数为0，f^2 导数为 2f。
步骤 4/4
目标：用微分近似计算变化量
当 f 变化 Δf 时，电缆长的变化 Δs ≈ ds = s'(f) Δf = (8f/(3l)) Δf。
公式：Δs ≈ (8f/(3l)) Δf
提示：微分近似适用于 Δf 较小的情况。
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