同济高数 第2章 第2-5-4题
📝 题目
4．将适当的函数填人下列括号内，使等式成立： （1） $\mathrm{d}(\quad)=2 \mathrm{~d} x$ ； （2） $\mathrm{d}(\quad)=3 x \mathrm{~d} x$ ； （3） $\mathrm{d}(\quad)=\cos t \mathrm{~d} t$ ； （4）$d(\quad)=\sin \omega x d x \quad(\omega \neq 0)$ ； （5） $\displaystyle \mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{1+x} \mathrm{~d} x$ ； （6） $\mathrm{d}(\quad)=\mathrm{e}^{-2 x} \mathrm{~d} x$ ； （7） $\displaystyle \mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{\sqrt{x}} \mathrm{~d} x$ ； （8） $\mathrm{d}(\quad)=\sec ^{2} 3 x \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 本题要求找到函数 $F(x)$ 或 $F(t)$，使得其微分等于给定的表达式，即求原函数（不定积分）。
(1) $$ \mathrm{d}(\quad)=2\,\mathrm{d}x $$ 由 $\displaystyle{\int 2\,\mathrm{d}x = 2x + C}$，故填 $2x + C$（通常取 $C=0$ 时最简单形式）。 因此：$\mathrm{d}(2x) = 2\,\mathrm{d}x$。
(2) $$ \mathrm{d}(\quad)=3x\,\mathrm{d}x $$ $\displaystyle{\int 3x\,\mathrm{d}x = \frac{3}{2}x^{2} + C}$，故填 $\frac{3}{2}x^{2}$。
(3) $$ \mathrm{d}(\quad)=\cos t\,\mathrm{d}t $$ $\displaystyle{\int \cos t\,\mathrm{d}t = \sin t + C}$，故填 $\sin t$。
(4) $$ \mathrm{d}(\quad)=\sin \omega x\,\mathrm{d}x \quad (\omega \neq 0) $$ $\displaystyle{\int \sin \omega x\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{\omega}\cos \omega x + C}$，故填 $-\frac{1}{\omega}\cos \omega x$。
(5) $$ \mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x $$ $\displaystyle{\int \frac{1}{1+x}\,\mathrm{d}x = \ln|1+x| + C}$，故填 $\ln|1+x|$。
(6) $$ \mathrm{d}(\quad)=\mathrm{e}^{-2x}\,\mathrm{d}x $$ $\displaystyle{\int \mathrm{e}^{-2x}\,\mathrm{d}x = -\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x} + C}$，故填 $-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}$。
(7) $$ \mathrm{d}(\quad)=\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x $$ 将 $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$，$\displaystyle{\int x^{-1/2}\,\mathrm{d}x = 2\sqrt{x} + C}$，故填 $2\sqrt{x}$。
(8) $$ \mathrm{d}(\quad)=\sec^{2}3x\,\mathrm{d}x $$ $\displaystyle{\int \sec^{2}3x\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3}\tan 3x + C}$，故填 $\frac{1}{3}\tan 3x$。
最终答案（取最简单形式，省略常数 $C$）： (1) $2x$ (2) $\frac{3}{2}x^{2}$ (3) $\sin t$ (4) $-\frac{1}{\omega}\cos \omega x$ (5) $\ln|1+x|$ (6) $-\frac{1}{2}\mathrm{e}^{-2x}$ (7) $2\sqrt{x}$ (8) $\frac{1}{3}\tan 3x$
难度：★☆☆☆☆