同济高数 第2章 第2-5-8题
📝 题目
8．计算下列反三角函数值的近似值： （1） $\arcsin 0.5002$ ； （2） $\arccos 0.4995$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] （1） 计算 $\arcsin 0.5002$ 的近似值。
设 $f(x)=\arcsin x$，取 $x_0=0.5$，$\Delta x=0.0002$。 已知 $\displaystyle \arcsin 0.5 = \frac{\pi}{6}$，且 $$ f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. $$ 在 $x_0=0.5$ 处， $$ f'(0.5)=\frac{1}{\sqrt{1-0.25}}=\frac{1}{\sqrt{0.75}}=\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}}. $$ 由微分近似公式 $f(x_0+\Delta x)\approx f(x_0)+f'(x_0)\Delta x$，得 $$ \arcsin 0.5002 \approx \frac{\pi}{6}+\frac{2}{\sqrt{3}}\times 0.0002. $$ 取 $\pi\approx 3.1415926$，$\sqrt{3}\approx 1.7320508$，则 $$ \frac{2}{\sqrt{3}}\approx 1.1547005,\quad 1.1547005\times 0.0002\approx 0.00023094. $$ 而 $\displaystyle \frac{\pi}{6}\approx 0.52359878$，相加得 $$ \arcsin 0.5002 \approx 0.5238297. $$
（2） 计算 $\arccos 0.4995$ 的近似值。
设 $g(x)=\arccos x$，取 $x_0=0.5$，$\Delta x=-0.0005$。 已知 $\displaystyle \arccos 0.5 = \frac{\pi}{3}$，且 $$ g'(x)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}. $$ 在 $x_0=0.5$ 处， $$ g'(0.5)=-\frac{2}{\sqrt{3}}. $$ 由微分近似公式， $$ \arccos 0.4995 \approx \frac{\pi}{3} + \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}\right)\times (-0.0005) = \frac{\pi}{3} + \frac{2}{\sqrt{3}}\times 0.0005. $$ 计算 $\displaystyle \frac{2}{\sqrt{3}}\times 0.0005 \approx 1.1547005\times 0.0005 \approx 0.00057735$， 而 $\displaystyle \frac{\pi}{3}\approx 1.04719755$，相加得 $$ \arccos 0.4995 \approx 1.0477749. $$
难度：★★☆☆☆