同济高数 第2章 第2-5-*11题
📝 题目
＊11．计算球体体积时，要求精确度在 $2 \%$ 以内．问这时测量直径 $D$ 的相对误差不能超过多少？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
我们已知球体体积公式为 $$ V = \frac{1}{6} \pi D^{3} $$ 其中 $D$ 为直径。
要求体积的相对误差不超过 $2\%$，即 $$ \left| \frac{\Delta V}{V} \right| \le 2\% = 0.02 $$
由微分近似公式，当直径的测量误差 $\Delta D$ 较小时，体积的误差近似为 $$ \Delta V \approx dV = V'(D) \, \Delta D = \frac{1}{2} \pi D^{2} \, \Delta D $$ 因此相对误差为 $$ \frac{\Delta V}{V} \approx \frac{\frac{1}{2} \pi D^{2} \Delta D}{\frac{1}{6} \pi D^{3}} = 3 \frac{\Delta D}{D} $$
于是要求 $$ \left| 3 \frac{\Delta D}{D} \right| \le 0.02 $$ 即 $$ \left| \frac{\Delta D}{D} \right| \le \frac{0.02}{3} \approx 0.006667 $$
换算为百分数： $$ \left| \frac{\Delta D}{D} \right| \le 0.667\% $$
因此，测量直径 $D$ 的相对误差不能超过约 $0.667\%$。
难度：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：写出球体体积公式
球体体积公式为 V = (1/6)πD³，其中 D 为直径。
公式：V = (1/6)πD³
提示：注意公式中 D 是直径，不是半径。
步骤 2/6
目标：明确体积相对误差要求
要求体积的相对误差不超过 2%，即 |ΔV/V| ≤ 0.02。
公式：|ΔV/V| ≤ 0.02
提示：相对误差是绝对误差与真值之比。
步骤 3/6
目标：利用微分近似体积误差
当 ΔD 很小时，ΔV ≈ dV = V'(D)ΔD = (1/2)πD²ΔD。
公式：ΔV ≈ (1/2)πD²ΔD
提示：微分近似要求 ΔD 足够小。
步骤 4/6
目标：推导相对误差关系
体积相对误差 ΔV/V ≈ [(1/2)πD²ΔD] / [(1/6)πD³] = 3ΔD/D。
公式：ΔV/V ≈ 3ΔD/D
提示：约去 π 和 D 的幂次。
步骤 5/6
目标：建立不等式求解直径相对误差
由 |3ΔD/D| ≤ 0.02 得 |ΔD/D| ≤ 0.02/3 ≈ 0.006667。
公式：|ΔD/D| ≤ 0.02/3
提示：注意绝对值不等式。
步骤 6/6
目标：转换为百分数
0.006667 = 0.667%，所以直径的相对误差不能超过约 0.667%。
提示：百分数表示更直观。
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