同济高数 第3章 第3-1-14题
📝 题目
14．证明：若函数 $y=f(x)$ 在 $(-\infty,+\infty)$ 内满足关系式 $f^{\prime}(x)=f(x)$ ，且 $f(0)=1$ ，则 $f(x)=\mathrm{e}^{x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**证明**： 已知函数 $ y = f(x) $ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 内可导，且满足 $$ f'(x) = f(x), \quad f(0) = 1. $$
考虑辅助函数 $$ \varphi(x) = f(x) \, e^{-x}. $$
对 $\varphi(x)$ 求导，由乘积法则得 $$ \varphi'(x) = f'(x) e^{-x} + f(x) \cdot (-e^{-x}) = \bigl( f'(x) - f(x) \bigr) e^{-x}. $$
代入已知条件 $ f'(x) = f(x) $，得到 $$ \varphi'(x) = 0, \quad \forall x \in (-\infty, +\infty). $$
因此 $\varphi(x)$ 在 $ (-\infty, +\infty) $ 上为常数函数。 令 $ x = 0 $，有 $$ \varphi(0) = f(0) e^{0} = 1 \cdot 1 = 1. $$
于是对任意 $ x \in (-\infty, +\infty) $， $$ \varphi(x) = 1 \quad \Rightarrow \quad f(x) e^{-x} = 1. $$
两边乘以 $ e^{x} $ 得 $$ f(x) = e^{x}. $$
证毕。
**难度评级**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：构造辅助函数
考虑辅助函数 φ(x) = f(x) e^{-x}，以便利用导数关系。
公式：φ(x) = f(x) e^{-x}
提示：构造辅助函数是处理微分方程常用的技巧，通常乘以指数函数 e^{-x} 可以消去 f(x) 项。
步骤 2/4
目标：求导并利用已知条件
对 φ(x) 求导：φ'(x) = f'(x) e^{-x} - f(x) e^{-x} = (f'(x) - f(x)) e^{-x}。代入 f'(x)=f(x) 得 φ'(x)=0。
公式：φ'(x) = (f'(x) - f(x)) e^{-x} = 0
提示：注意乘积法则的符号，e^{-x} 的导数是 -e^{-x}。
步骤 3/4
目标：确定常数
由 φ'(x)=0 知 φ(x) 为常数。代入 x=0：φ(0)=f(0)e^{0}=1，故 φ(x)=1 对所有 x 成立。
公式：φ(0)=1 ⇒ φ(x)=1
提示：利用初始条件 f(0)=1 确定常数值。
步骤 4/4
目标：解出 f(x)
由 φ(x)=f(x)e^{-x}=1 得 f(x)=e^{x}。
公式：f(x)=e^{x}
提示：两边乘以 e^{x} 即可。
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