同济高数 第3章 第3-4-14题
📝 题目
14．试决定曲线 $y=a x^{3}+b x^{2}+c x+d$ 中的 $a, b, c, d$ ，使得 $x=-2$ 处曲线有水平切线，$(1,-10)$ 为拐点，且点 $(-2,44)$ 在曲线上．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知曲线方程 $$ y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d $$ 需要确定系数 $a, b, c, d$，满足以下条件：
1. 在 $x = -2$ 处有水平切线，即 $$ y'(-2) = 0 $$ 2. 点 $(1, -10)$ 为拐点，即 $$ y''(1) = 0 $$ 且该点在曲线上： $$ y(1) = -10 $$ 3. 点 $(-2, 44)$ 在曲线上，即 $$ y(-2) = 44 $$
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**第一步：求导数**
一阶导数： $$ y' = 3a x^{2} + 2b x + c $$ 二阶导数： $$ y'' = 6a x + 2b $$
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**第二步：根据条件列方程**
条件1：$x = -2$ 处水平切线 $$ y'(-2) = 3a(4) + 2b(-2) + c = 12a - 4b + c = 0 \quad (1) $$
条件2：拐点在 $x = 1$ $$ y''(1) = 6a(1) + 2b = 6a + 2b = 0 \quad \Rightarrow \quad 3a + b = 0 \quad (2) $$
条件3：点 $(1, -10)$ 在曲线上 $$ y(1) = a + b + c + d = -10 \quad (3) $$
条件4：点 $(-2, 44)$ 在曲线上 $$ y(-2) = a(-8) + b(4) + c(-2) + d = -8a + 4b - 2c + d = 44 \quad (4) $$
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**第三步：解方程组**
由 (2) 得 $$ b = -3a $$
代入 (1)： $$ 12a - 4(-3a) + c = 12a + 12a + c = 24a + c = 0 \quad \Rightarrow \quad c = -24a $$
代入 (3)： $$ a + (-3a) + (-24a) + d = a - 3a - 24a + d = -26a + d = -10 $$ 所以 $$ d = 26a - 10 \quad (3') $$
代入 (4)： $$ -8a + 4(-3a) - 2(-24a) + d = -8a -12a + 48a + d = 28a + d = 44 $$ 将 $d = 26a - 10$ 代入： $$ 28a + 26a - 10 = 44 \quad \Rightarrow \quad 54a = 54 \quad \Rightarrow \quad a = 1 $$
于是 $$ b = -3,\quad c = -24,\quad d = 26(1) - 10 = 16 $$
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**第四步：结果**
曲线方程为 $$ \boxed{y = x^{3} - 3x^{2} - 24x + 16} $$
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难度：★★☆☆☆ （主要考察导数几何意义与解线性方程组，计算量不大，思路直接）