同济高数 第3章 第3-5-10题
📝 题目
10．某车间靠墙壁要盖一间长方形小屋，现有存砖只够砌 20 m 长的墙壁．问应围成怎样的长方形才能使这间小屋的面积最大？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设小屋与墙壁垂直的两边长度为 $x$ 米，平行于墙壁的一边长度为 $y$ 米。由于一面靠墙，不需砌砖，因此实际需要砌的墙壁总长度为： $$ 2x + y = 20 $$ 小屋的面积为： $$ S = x \cdot y $$ 由约束条件 $y = 20 - 2x$，代入面积公式得： $$ S(x) = x(20 - 2x) = 20x - 2x^{2} $$ 定义域由实际意义决定：$x > 0$，且 $y = 20 - 2x > 0$，即 $0 < x < 10$。
对 $S(x)$ 求导： $$ S'(x) = 20 - 4x $$ 令导数为零： $$ 20 - 4x = 0 \quad\Rightarrow\quad x = 5 $$ 此时 $y = 20 - 2 \times 5 = 10$。
二阶导数 $S''(x) = -4 < 0$，说明 $x = 5$ 处取得极大值，也是最大值。
因此，当垂直于墙壁的两边长为 5 米，平行于墙壁的一边长为 10 米时，小屋面积最大，最大面积为： $$ S_{\max} = 5 \times 10 = 50 \ \text{平方米} $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：设变量并建立约束条件
设小屋与墙壁垂直的两边长度为 x 米，平行于墙壁的一边长度为 y 米。由于一面靠墙，实际需要砌的墙壁总长度为 2x + y = 20 米。
公式：2x + y = 20
提示：注意靠墙的一面不需要砌砖，因此总长度只包括三边。
步骤 2/4
目标：表示面积函数
小屋的面积为 S = x * y。由约束条件得 y = 20 - 2x，代入得 S(x) = x(20 - 2x) = 20x - 2x^2。定义域为 x > 0 且 y > 0，即 0 < x < 10。
公式：S(x) = 20x - 2x^2
提示：定义域需保证边长均为正数。
步骤 3/4
目标：求导数并找到临界点
对 S(x) 求导：S'(x) = 20 - 4x。令 S'(x) = 0，得 20 - 4x = 0，解得 x = 5。
公式：S'(x) = 20 - 4x
提示：导数为零的点是可能的极值点。
步骤 4/4
目标：判断极值类型并计算最大值
二阶导数 S''(x) = -4 < 0，所以 x = 5 处取得极大值，也是最大值。此时 y = 20 - 2*5 = 10。最大面积 S_max = 5 * 10 = 50 平方米。
公式：S''(x) = -4 < 0
提示：二阶导数小于零说明函数在该点处是凸的，取得极大值。
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