同济高数 第3章 第3-5-11题

[AI解答]

[AI解答] 设圆柱形油罐的体积为 $V$，则体积公式为 $$ V = \pi r^2 h $$ 表面积包括两个底面与侧面，即 $$ S = 2\pi r^2 + 2\pi r h $$ 由体积公式解出 $h$： $$ h = \frac{V}{\pi r^2} $$ 代入表面积表达式： $$ S(r) = 2\pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{V}{\pi r^2} = 2\pi r^2 + \frac{2V}{r} $$ 问题转化为求 $S(r)$ 在 $r>0$ 时的最小值。对 $r$ 求导： $$ \frac{dS}{dr} = 4\pi r - \frac{2V}{r^2} $$ 令导数为零： $$ 4\pi r - \frac{2V}{r^2} = 0 \quad\Rightarrow\quad 4\pi r^3 = 2V \quad\Rightarrow\quad r^3 = \frac{V}{2\pi} $$ 因此 $$ r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}} $$ 对应的 $$ h = \frac{V}{\pi r^2} = \frac{V}{\pi \left(\frac{V}{2\pi}\right)^{2/3}} = \frac{V}{\pi} \cdot \left(\frac{2\pi}{V}\right)^{2/3} = \left(\frac{V}{\pi}\right)^{1/3} \cdot (2\pi)^{2/3} = 2^{2/3} \cdot \left(\frac{V}{\pi}\right)^{1/3} $$ 也可以化简为 $$ h = \frac{2V}{4\pi r^2}? $$ 更直接地，由 $4\pi r^3 = 2V$ 且 $V = \pi r^2 h$，代入得 $$ 4\pi r^3 = 2\pi r^2 h \quad\Rightarrow\quad 2r = h $$ 所以此时高等于直径，即 $$ h = 2r $$ 因此底直径与高的比为 $$ \frac{2r}{h} = \frac{2r}{2r} = 1 $$ 即底直径与高相等。

**结论**：当 $r = \sqrt[3]{\frac{V}{2\pi}}$，$h = 2r$ 时表面积最小，此时底直径与高的比为 $1:1$。

难度：★★☆☆☆