同济高数 第3章 第3-5-12题
📝 题目
12．某地区防空洞的截面拟建成矩形加半圆（图3－19）．截面的面积为 $5 \mathrm{~m}^{2}$ 。问底宽 $x$ 为多少时才能使截面的周长最小，从而使建造时所用的材料最省？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设矩形部分的高为 $h$，半圆的半径即为底宽的一半，即 $r = \frac{x}{2}$。 截面总面积由矩形面积和半圆面积组成：
$$ \text{面积} = x h + \frac{1}{2} \pi r^2 = x h + \frac{1}{2} \pi \left( \frac{x}{2} \right)^2 = x h + \frac{\pi x^2}{8} $$
已知总面积 $S = 5$，所以有：
$$ x h + \frac{\pi x^2}{8} = 5 $$ 解得： $$ h = \frac{5}{x} - \frac{\pi x}{8} $$
截面的周长（即外缘长度）由矩形两边（两个高）和半圆弧长组成，注意底部宽度 $x$ 是地面，不算在周长中（因为防空洞靠墙），所以：
$$ L = 2h + \pi r = 2h + \pi \cdot \frac{x}{2} $$
代入 $h$： $$ L(x) = 2\left( \frac{5}{x} - \frac{\pi x}{8} \right) + \frac{\pi x}{2} = \frac{10}{x} - \frac{\pi x}{4} + \frac{\pi x}{2} $$
合并含 $x$ 的项： $$ - \frac{\pi x}{4} + \frac{\pi x}{2} = \frac{\pi x}{4} $$ 所以： $$ L(x) = \frac{10}{x} + \frac{\pi x}{4} $$
为求最小值，对 $L(x)$ 求导： $$ L'(x) = -\frac{10}{x^2} + \frac{\pi}{4} $$ 令导数为零： $$ -\frac{10}{x^2} + \frac{\pi}{4} = 0 $$ $$ \frac{\pi}{4} = \frac{10}{x^2} $$ $$ x^2 = \frac{40}{\pi} $$ $$ x = \sqrt{\frac{40}{\pi}} = 2\sqrt{\frac{10}{\pi}} $$
由于 $x>0$，且二阶导数： $$ L''(x) = \frac{20}{x^3} > 0 $$ 所以该点为极小值点，即周长最小点。
因此，底宽为： $$ \boxed{x = 2\sqrt{\frac{10}{\pi}} \ \mathrm{m}} $$
难度：★★☆☆☆