同济高数 第3章 第3-5-13题

[AI解答]

[AI解答]

**问题分析** 物体质量 $ m = 5\,\text{kg} $，摩擦系数 $ \mu = 0.25 $，重力加速度取 $ g = 9.8\,\text{m/s}^2 $。 物体在水平面上受拉力 $ F $，与水平方向夹角为 $ \alpha $。要使物体开始移动，需克服最大静摩擦力。 我们要求使 $ F $ 取最小值的角度 $ \alpha $。

**受力分析** - 水平方向：$ F\cos\alpha - f = 0 $（临界运动时摩擦力达到最大静摩擦） - 竖直方向：$ N + F\sin\alpha - mg = 0 $ 最大静摩擦力 $ f = \mu N $。

由竖直方向得： $$ N = mg - F\sin\alpha $$ 代入水平方向平衡： $$ F\cos\alpha = \mu (mg - F\sin\alpha) $$ 解出 $ F $： $$ F\cos\alpha = \mu mg - \mu F\sin\alpha $$ $$ F(\cos\alpha + \mu\sin\alpha) = \mu mg $$ $$ F = \frac{\mu mg}{\cos\alpha + \mu\sin\alpha} $$

**求最小值** 令分母 $ \varphi(\alpha) = \cos\alpha + \mu\sin\alpha $，其中 $ \mu = 0.25 $。 求 $ \varphi(\alpha) $ 的最大值即可使 $ F $ 最小。 对 $ \varphi(\alpha) $ 求导： $$ \varphi'(\alpha) = -\sin\alpha + \mu\cos\alpha $$ 令 $ \varphi'(\alpha) = 0 $： $$ -\sin\alpha + \mu\cos\alpha = 0 \quad\Rightarrow\quad \tan\alpha = \mu $$ 因此： $$ \alpha = \arctan(\mu) = \arctan(0.25) $$ 此时 $ \varphi(\alpha) $ 取最大值，$ F $ 取最小值。

**结果** 最小拉力对应的角度： $$ \alpha = \arctan(0.25) \approx 14.036^\circ $$

**难度评级**：★☆☆☆☆ （基础受力分析+简单极值问题，计算量小，思路直接）