同济高数 第3章 第3-5-14题

[AI解答]

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**第一步：建立模型** 设杠杆长度为 $x$ 米，支点在左端，右端施加力 $F$（方向竖直向下）。 在距支点 0.1 m 处挂有质量 49 kg 的物体，其重力为 $49g$（$g=9.8\,\mathrm{m/s^2}$）。 杠杆本身线密度 $5\,\mathrm{kg/m}$，则总质量 $5x$，重心位于距支点 $\frac{x}{2}$ 处，重力为 $5gx$。

**第二步：力矩平衡** 以支点为矩心，顺时针力矩由重物和杠杆自重产生，逆时针力矩由力 $F$ 产生。 平衡条件（力矩代数和为零）： $$ F \cdot x = 49g \cdot 0.1 + (5gx) \cdot \frac{x}{2} $$ 即 $$ F x = 4.9g + \frac{5g}{2}x^2 $$

**第三步：求最省力的杆长** 最省力即 $F$ 最小，由上式得 $$ F = \frac{4.9g}{x} + \frac{5g}{2}x $$ 将 $F$ 视为 $x>0$ 的函数，求其最小值。 对 $x$ 求导： $$ \frac{dF}{dx} = -\frac{4.9g}{x^2} + \frac{5g}{2} $$ 令导数为零： $$ -\frac{4.9g}{x^2} + \frac{5g}{2} = 0 $$ 约去 $g$： $$ \frac{5}{2} = \frac{4.9}{x^2} $$ 解得 $$ x^2 = \frac{4.9 \times 2}{5} = \frac{9.8}{5} = 1.96 $$ 因此 $$ x = \sqrt{1.96} = 1.4 \quad (\text{米}) $$

**第四步：验证极值类型** 二阶导数： $$ \frac{d^2F}{dx^2} = \frac{2 \times 4.9g}{x^3} > 0 $$ 故为极小值点。

**结论**：最省力的杆长为 $1.4$ 米。

难度：★★☆☆☆