同济高数 第3章 第3-6-1题
📝 题目
1．$\displaystyle y=\frac{1}{5}\left(x^{4}-6 x^{2}+8 x+7\right)$ ；
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求函数 $$ y=\frac{1}{5}\left(x^{4}-6 x^{2}+8 x+7\right) $$ 的导数。 直接对多项式逐项求导，常数因子 $\frac{1}{5}$ 保留。
第一步：展开求导形式 $$ y' = \frac{1}{5} \cdot \frac{d}{dx}\left( x^{4} - 6x^{2} + 8x + 7 \right) $$
第二步：分别求导 $$ \frac{d}{dx}(x^{4}) = 4x^{3},\quad \frac{d}{dx}(-6x^{2}) = -12x,\quad \frac{d}{dx}(8x) = 8,\quad \frac{d}{dx}(7) = 0 $$
第三步：合并结果 $$ y' = \frac{1}{5} \left( 4x^{3} - 12x + 8 \right) $$
第四步：可提取公因子简化 $$ y' = \frac{4}{5}\left( x^{3} - 3x + 2 \right) $$
因此，导数为 $$ \boxed{y' = \frac{4}{5}\left( x^{3} - 3x + 2 \right)} $$
难度评级：★☆☆☆☆ （仅涉及多项式基本求导法则，无复合、隐函数或积分技巧，属于最基础求导练习。）
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出求导形式，保留常数因子
将常数因子1/5提出，对括号内的多项式求导：y' = (1/5) * d/dx (x^4 - 6x^2 + 8x + 7)
公式：d/dx [c·f(x)] = c·f'(x)
提示：常数因子可以直接提到导数外面。
步骤 2/4
目标：分别对多项式各项求导
对x^4求导得4x^3；对-6x^2求导得-12x；对8x求导得8；对常数7求导得0。
公式：d/dx (x^n) = n x^(n-1); d/dx (c) = 0
提示：注意负号不要遗漏。
步骤 3/4
目标：合并导数结果
将各项导数相加：4x^3 - 12x + 8，再乘以1/5，得到y' = (1/5)(4x^3 - 12x + 8)。
公式：线性法则：d/dx [f(x)+g(x)] = f'(x)+g'(x)
提示：合并时注意符号。
步骤 4/4
目标：化简结果
提取公因子4/5：y' = (4/5)(x^3 - 3x + 2)。
公式：因式分解
提示：检查是否可以进一步因式分解，此处x^3-3x+2可分解为(x-1)^2(x+2)，但非必需。
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