同济高数 第3章 第3-6-2题
📝 题目
2．$\displaystyle y=\frac{x}{1+x^{2}}$ ；
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求函数 $ y = \frac{x}{1+x^2} $ 的导数。 使用商的求导法则： 设 $ u = x $，$ v = 1+x^2 $，则 $$ y' = \frac{u'v - uv'}{v^2} $$ 其中 $ u' = 1 $，$ v' = 2x $。 代入公式： $$ y' = \frac{1 \cdot (1+x^2) - x \cdot 2x}{(1+x^2)^2} = \frac{1 + x^2 - 2x^2}{(1+x^2)^2} = \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2} $$ 因此导数为 $$ \boxed{\displaystyle \frac{1 - x^2}{(1+x^2)^2}} $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别函数形式，确定使用商的求导法则
函数 y = x/(1+x^2) 是分式形式，分子 u=x，分母 v=1+x^2，因此使用商的求导法则：y' = (u'v - uv')/v^2
公式：商的求导法则： (u/v)' = (u'v - uv')/v^2
提示：注意区分分子和分母，确保正确代入。
步骤 2/5
目标：分别求分子和分母的导数
u = x，则 u' = 1；v = 1+x^2，则 v' = 2x
公式：幂函数求导： (x^n)' = n x^(n-1)；常数导数为0
提示：v 的导数中，常数1的导数为0，x^2的导数为2x。
步骤 3/5
目标：代入商的求导公式
y' = (1*(1+x^2) - x*2x) / (1+x^2)^2 = (1+x^2 - 2x^2) / (1+x^2)^2
提示：注意括号和符号，避免计算错误。
步骤 4/5
目标：化简分子
1+x^2 - 2x^2 = 1 - x^2
提示：合并同类项。
步骤 5/5
目标：得出最终导数
y' = (1 - x^2) / (1+x^2)^2
提示：结果通常保留为最简形式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。