同济高数 第3章 第3-6-3题
📝 题目
3．$y=\mathrm{e}^{-(x-1)^{2}}$ ；
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求函数 $ y = e^{-(x-1)^2} $ 的导数。这是一个复合函数，外层是指数函数 $ e^u $，内层是 $ u = -(x-1)^2 $。
**步骤1：识别复合结构** 令 $$ u = -(x-1)^2 $$ 则 $$ y = e^{u} $$
**步骤2：分别求导** 对 $ y = e^u $ 关于 $ u $ 求导： $$ \frac{dy}{du} = e^u $$ 对 $ u = -(x-1)^2 $ 关于 $ x $ 求导： 先展开 $ u = -(x^2 - 2x + 1) = -x^2 + 2x - 1 $， $$ \frac{du}{dx} = -2x + 2 = -2(x-1) $$ 或者直接用链式法则： $$ \frac{d}{dx} \left[ -(x-1)^2 \right] = -2(x-1) \cdot 1 = -2(x-1) $$
**步骤3：应用链式法则** $$ \frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = e^u \cdot \left[ -2(x-1) \right] $$ 代回 $ u = -(x-1)^2 $： $$ \frac{dy}{dx} = e^{-(x-1)^2} \cdot \left[ -2(x-1) \right] $$
**步骤4：整理结果** $$ \boxed{y' = -2(x-1) e^{-(x-1)^2}} $$
难度：★☆☆☆☆ （仅需一次链式法则，属于基础求导题）
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：识别复合函数结构
令 u = -(x-1)^2，则 y = e^u。
提示：注意外层是指数函数，内层是二次函数的相反数。
步骤 2/5
目标：对外层函数求导
对 y = e^u 关于 u 求导：dy/du = e^u。
公式：d(e^u)/du = e^u
提示：指数函数的导数就是它本身。
步骤 3/5
目标：对内层函数求导
对 u = -(x-1)^2 关于 x 求导：du/dx = -2(x-1)。
公式：d/dx[-(x-1)^2] = -2(x-1)
提示：使用链式法则或展开后求导。
步骤 4/5
目标：应用链式法则
dy/dx = (dy/du) * (du/dx) = e^u * [-2(x-1)]。
公式：dy/dx = e^u * du/dx
提示：链式法则：复合函数的导数等于外层导数乘以内层导数。
步骤 5/5
目标：代回原变量并整理
将 u = -(x-1)^2 代入，得 dy/dx = -2(x-1) e^{-(x-1)^2}。
公式：y' = -2(x-1) e^{-(x-1)^2}
提示：最终结果通常写成因式分解形式。
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