同济高数 第3章 第3-6-4题
📝 题目
4．$\displaystyle y=x^{2}+\frac{1}{x}$ ；
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求函数 $ y = x^2 + \frac{1}{x} $ 的导数。 首先，将函数写为幂函数形式以便求导： $$ y = x^2 + x^{-1} $$ 然后对每一项分别求导。根据幂函数求导公式 $\frac{d}{dx} x^n = n x^{n-1}$，有：
第一项： $$ \frac{d}{dx} (x^2) = 2x $$ 第二项： $$ \frac{d}{dx} (x^{-1}) = -1 \cdot x^{-2} = -\frac{1}{x^2} $$ 因此，导数为： $$ y' = 2x - \frac{1}{x^2} $$
最终结果为： $$ \boxed{y' = 2x - \frac{1}{x^2}} $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将函数写为幂函数形式
将 y = x^2 + 1/x 改写为 y = x^2 + x^{-1}
提示：利用负指数将分式转化为幂函数形式，便于求导。
步骤 2/4
目标：对第一项 x^2 求导
根据幂函数求导公式，d/dx (x^n) = n x^{n-1}，得 d/dx (x^2) = 2x
公式：d/dx (x^n) = n x^{n-1}
提示：指数2作为系数，指数减1得1。
步骤 3/4
目标：对第二项 x^{-1} 求导
根据幂函数求导公式，d/dx (x^{-1}) = -1 * x^{-2} = -1/x^2
公式：d/dx (x^n) = n x^{n-1}
提示：指数-1作为系数，指数减1得-2。
步骤 4/4
目标：合并结果
将两项导数相加：y' = 2x - 1/x^2
提示：注意符号，第二项导数为负。
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