同济高数 第3章 第3-7-1题
📝 题目
1．求椭圆 $4 x^{2}+y^{2}=4$ 在点 $(0,2)$ 处的曲率．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知椭圆方程： $$ 4x^{2} + y^{2} = 4 $$ 首先化为标准形式： $$ \frac{x^{2}}{1} + \frac{y^{2}}{4} = 1 $$ 要求点 $(0,2)$ 处的曲率。
**步骤1：隐函数求一阶导数** 对方程两边关于 $x$ 求导： $$ 8x + 2y y' = 0 $$ 解得 $$ y' = -\frac{4x}{y} $$ 在点 $(0,2)$ 处： $$ y'(0) = -\frac{4\cdot 0}{2} = 0 $$
**步骤2：求二阶导数** 对 $8x + 2y y' = 0$ 两边再对 $x$ 求导： $$ 8 + 2(y')^{2} + 2y y'' = 0 $$ 所以 $$ y'' = -\frac{8 + 2(y')^{2}}{2y} = -\frac{4 + (y')^{2}}{y} $$ 代入 $x=0, y=2, y'=0$： $$ y''(0) = -\frac{4 + 0}{2} = -2 $$
**步骤3：曲率公式** 曲率公式为 $$ \kappa = \frac{|y''|}{\displaystyle{}\left(1 + (y')^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} $$ 代入数值： $$ \kappa = \frac{|-2|}{\displaystyle{}\left(1 + 0^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} = 2 $$
因此，椭圆在点 $(0,2)$ 处的曲率为 $2$。
难度：★★☆☆☆