同济高数 第3章 第3-7-8题

[AI解答]

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**问题分析** 汽车在抛物线拱桥上行驶，越过桥顶时，汽车受到重力与桥面支持力，二者的合力提供向心力。汽车对桥的压力等于桥面对汽车的支持力（作用力与反作用力）。已知汽车质量 $ m = 5\ \mathrm{t} = 5000\ \mathrm{kg} $，速度 $ v = 21.6\ \mathrm{km/h} $，需换算为国际单位制： $$ v = 21.6 \times \frac{1000}{3600} = 6\ \mathrm{m/s} $$ 桥跨度为 $ 10\ \mathrm{m} $，矢高（拱高）为 $ 0.25\ \mathrm{m} $。抛物线拱桥的方程可设为顶点在原点、开口向下的抛物线，设桥顶为坐标原点，水平方向为 $ x $ 轴，竖直向下为 $ y $ 轴正方向（便于计算曲率半径）。

**步骤1：建立抛物线方程** 设抛物线方程为 $ y = a x^2 $，由于拱高为 $ 0.25\ \mathrm{m} $，跨度为 $ 10\ \mathrm{m} $，即当 $ x = \pm 5\ \mathrm{m} $ 时，$ y = 0.25\ \mathrm{m} $。代入得： $$ 0.25 = a \cdot (5)^2 \quad\Rightarrow\quad a = \frac{0.25}{25} = 0.01 $$ 所以抛物线方程为： $$ y = 0.01 x^2 $$ 注意：此处 $ y $ 向下为正，桥顶在原点，拱向上凸起。

**步骤2：求桥顶处的曲率半径** 曲线 $ y = f(x) $ 的曲率公式为： $$ K = \frac{|y''|}{(1 + (y')^2)^{3/2}} $$ 曲率半径 $ \rho = \frac{1}{K} $。 对于 $ y = 0.01 x^2 $，求导： $$ y' = 0.02 x, \quad y'' = 0.02 $$ 在桥顶 $ x = 0 $ 处： $$ y'(0) = 0, \quad y''(0) = 0.02 $$ 所以曲率： $$ K = \frac{|0.02|}{(1 + 0)^{3/2}} = 0.02 $$ 曲率半径： $$ \rho = \frac{1}{K} = \frac{1}{0.02} = 50\ \mathrm{m} $$

**步骤3：汽车在桥顶的受力分析** 汽车在桥顶时，重力 $ mg $ 向下，支持力 $ N $ 向上（指向曲率圆心），合力提供向心力，向心力方向向下（指向曲率中心，即桥顶正下方）。由牛顿第二定律： $$ mg - N = m \frac{v^2}{\rho} $$ 因此支持力： $$ N = mg - m \frac{v^2}{\rho} $$ 代入数据： $$ m = 5000\ \mathrm{kg},\quad g = 9.8\ \mathrm{m/s^2},\quad v = 6\ \mathrm{m/s},\quad \rho = 50\ \mathrm{m} $$ $$ N = 5000 \times 9.8 - 5000 \times \frac{6^2}{50} $$ 先计算： $$ 5000 \times 9.8 = 49000\ \mathrm{N} $$ $$ \frac{6^2}{50} = \frac{36}{50} = 0.72,\quad 5000 \times 0.72 = 3600\ \mathrm{N} $$ 所以： $$ N = 49000 - 3600 = 45400\ \mathrm{N} $$ 汽车对桥的压力与支持力大小相等，方向相反，故压力为 $ 45400\ \mathrm{N} $。

**最终答案** $$ \boxed{45400\ \mathrm{N}} $$

**难度评级**：★★☆☆☆ （涉及曲率半径计算与圆周运动向心力，步骤清晰，计算简单，但需注意单位换算和抛物线建模。）