同济高数 第4章 第4-1-5题
📝 题目
5．一曲线通过点 $\left(\mathrm{e}^{2}, 3\right)$ ，且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设曲线方程为 $ y = f(x) $。由题意，在任一点 $(x, y)$ 处切线的斜率等于该点横坐标的倒数，即 $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{x}. $$ 这是一个可分离变量的一阶微分方程，两边积分得 $$ y = \int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C, $$ 其中 $C$ 为积分常数。
已知曲线经过点 $(\mathrm{e}^{2}, 3)$，代入得 $$ 3 = \ln(\mathrm{e}^{2}) + C = 2 + C, $$ 所以 $$ C = 1. $$
因此曲线方程为 $$ y = \ln |x| + 1. $$ 由于横坐标 $\mathrm{e}^{2} > 0$，且一般考虑 $x>0$，可去掉绝对值，得 $$ \boxed{y = \ln x + 1}. $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：建立微分方程
设曲线方程为 y = f(x)。由题意，在任一点 (x, y) 处切线的斜率等于该点横坐标的倒数，即 dy/dx = 1/x。
公式：dy/dx = 1/x
提示：注意斜率是导数，横坐标是 x。
步骤 2/4
目标：求解微分方程
分离变量并积分：dy = (1/x) dx，两边积分得 y = ∫(1/x) dx = ln|x| + C，其中 C 为积分常数。
公式：y = ln|x| + C
提示：积分时不要忘记绝对值，因为 x 可能为负。
步骤 3/4
目标：利用初始条件确定常数
曲线经过点 (e^2, 3)，代入方程：3 = ln(e^2) + C = 2 + C，解得 C = 1。
公式：3 = 2 + C
提示：ln(e^2) = 2。
步骤 4/4
目标：写出曲线方程
将 C = 1 代入通解，得 y = ln|x| + 1。由于 e^2 > 0，通常考虑 x > 0，去掉绝对值，得 y = ln x + 1。
公式：y = ln x + 1
提示：最终方程中 x > 0。
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