同济高数 第4章 第4-1-6题
📝 题目
6．一物体沿直线由静止开始运动，经 $t \mathrm{~s}$ 后的速度是 $3 t^{2} \mathrm{~m} / \mathrm{s}$ ，问 （1） 3 s 后物体离开出发点的距离是多少？ （2）物体走完 360 m 需要多少时间？
💡 答案解析
[AI解答]
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**问题分析** 已知物体沿直线运动，初速度为零，速度函数为 $$ v(t) = 3t^{2} \quad (\mathrm{m/s}) $$ 路程（位移）是速度对时间的积分。
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### (1) 3 s 后离开出发点的距离
物体从 $t=0$ 到 $t=3$ 的位移为 $$ s(3) = \int_{0}^{3} v(t) \, dt = \int_{0}^{3} 3t^{2} \, dt $$ 计算积分： $$ \int 3t^{2} \, dt = t^{3} + C $$ 代入上下限： $$ s(3) = \big[ t^{3} \big]_{0}^{3} = 3^{3} - 0 = 27 \quad (\mathrm{m}) $$
所以 **3 s 后物体离开出发点的距离是 27 m**。
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### (2) 物体走完 360 m 所需时间
设所需时间为 $T$ 秒，则位移满足 $$ s(T) = \int_{0}^{T} 3t^{2} \, dt = T^{3} = 360 $$ 因此 $$ T = \sqrt[3]{360} $$ 化简： $$ 360 = 8 \times 45 = 2^{3} \times 45 $$ 所以 $$ T = \sqrt[3]{2^{3} \times 45} = 2 \sqrt[3]{45} \quad (\mathrm{s}) $$ 近似数值： $$ \sqrt[3]{45} \approx 3.5569,\quad T \approx 7.1138 \ \mathrm{s} $$
因此 **走完 360 m 需要 $2\sqrt[3]{45}$ 秒（约 7.11 s）**。
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**难度评级**：★☆☆☆☆ （直接积分与简单代数方程，属基础题）