同济高数 第4章 第4-1-7题
📝 题目
7．证明 $\arcsin (2 x-1), \arccos (1-2 x)$ 和 $\displaystyle 2 \arctan \sqrt{\frac{x}{1-x}}$ 都是 $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{x-x^{2}}}$ 的原函数．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 要证明三个函数都是 $\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$ 的原函数，只需分别求导，验证其导数等于该被积函数即可。注意定义域为 $0 < x < 1$。
**第一步：对 $\arcsin(2x-1)$ 求导** 设 $y_1 = \arcsin(2x-1)$，则 $$ \frac{dy_1}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1-(2x-1)^2}} \cdot 2 $$ 计算内部平方： $$ (2x-1)^2 = 4x^2 - 4x + 1 $$ 因此 $$ 1 - (2x-1)^2 = 1 - (4x^2 - 4x + 1) = 4x - 4x^2 = 4(x - x^2) $$ 所以 $$ \frac{dy_1}{dx} = \frac{2}{\sqrt{4(x-x^2)}} = \frac{2}{2\sqrt{x-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{x-x^2}} $$ 成立。
**第二步：对 $\arccos(1-2x)$ 求导** 设 $y_2 = \arccos(1-2x)$，则 $$ \frac{dy_2}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(1-2x)^2}} \cdot (-2) = \frac{2}{\sqrt{1-(1-2x)^2}} $$ 计算内部平方： $$ (1-2x)^2 = 1 - 4x + 4x^2 $$ 因此 $$ 1 - (1-2x)^2 = 1 - (1 - 4x + 4x^2) = 4x - 4x^2 = 4(x - x^2) $$ 所以 $$ \frac{dy_2}{dx} = \frac{2}{\sqrt{4(x-x^2)}} = \frac{2}{2\sqrt{x-x^2}} = \frac{1}{\sqrt{x-x^2}} $$ 成立。
**第三步：对 $2\arctan\sqrt{\frac{x}{1-x}}$ 求导** 设 $y_3 = 2\arctan\sqrt{\frac{x}{1-x}}$，令 $u = \sqrt{\frac{x}{1-x}}$，则 $$ \frac{dy_3}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1+u^2} \cdot \frac{du}{dx} $$ 先计算 $u^2 = \frac{x}{1-x}$，则 $$ 1+u^2 = 1 + \frac{x}{1-x} = \frac{1-x + x}{1-x} = \frac{1}{1-x} $$ 再计算 $\frac{du}{dx}$： $$ u = \left(\frac{x}{1-x}\right)^{1/2} $$ $$ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2}\left(\frac{x}{1-x}\right)^{-1/2} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{1-x}\right) $$ 而 $$ \frac{d}{dx}\left(\frac{x}{1-x}\right) = \frac{(1-x) - x(-1)}{(1-x)^2} = \frac{1-x + x}{(1-x)^2} = \frac{1}{(1-x)^2} $$ 因此 $$ \frac{du}{dx} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{1-x}{x}} \cdot \frac{1}{(1-x)^2} = \frac{1}{2\sqrt{x}(1-x)^{3/2}} $$ 于是 $$ \frac{dy_3}{dx} = 2 \cdot (1-x) \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}(1-x)^{3/2}} = \frac{1-x}{\sqrt{x}(1-x)^{3/2}} = \frac{1}{\sqrt{x}(1-x)^{1/2}} = \frac{1}{\sqrt{x(1-x)}} $$ 而 $\sqrt{x(1-x)} = \sqrt{x - x^2}$，所以 $$ \frac{dy_3}{dx} = \frac{1}{\sqrt{x-x^2}} $$ 成立。
**结论**：三个函数的导数均等于 $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{x-x^2}}$，因此它们都是该函数的原函数。
难度：★★☆☆☆