同济高数 第4章 第4-3-10题

[AI解答]

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我们要求不定积分： $$ \int x \tan^2 x \, \mathrm{d}x $$

**步骤1：利用三角恒等式化简** 回忆恒等式： $$ \tan^2 x = \sec^2 x - 1 $$ 因此原积分可写为： $$ \int x \tan^2 x \, \mathrm{d}x = \int x (\sec^2 x - 1) \, \mathrm{d}x = \int x \sec^2 x \, \mathrm{d}x - \int x \, \mathrm{d}x $$

**步骤2：分别计算两个积分** 第二个积分简单： $$ \int x \, \mathrm{d}x = \frac{x^2}{2} $$

第一个积分使用分部积分法。令： $$ u = x, \quad \mathrm{d}v = \sec^2 x \, \mathrm{d}x $$ 则： $$ \mathrm{d}u = \mathrm{d}x, \quad v = \tan x $$ 分部积分公式： $$ \int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u $$ 所以： $$ \int x \sec^2 x \, \mathrm{d}x = x \tan x - \int \tan x \, \mathrm{d}x $$

**步骤3：计算 $\int \tan x \, \mathrm{d}x$** 我们知道： $$ \int \tan x \, \mathrm{d}x = -\ln|\cos x| + C = \ln|\sec x| + C $$

因此： $$ \int x \sec^2 x \, \mathrm{d}x = x \tan x - \ln|\sec x| + C_1 $$

**步骤4：合并结果** 原积分： $$ \int x \tan^2 x \, \mathrm{d}x = \left( x \tan x - \ln|\sec x| \right) - \frac{x^2}{2} + C $$

所以最终结果为： $$ \boxed{x \tan x - \ln|\sec x| - \frac{x^2}{2} + C} $$

难度：★★☆☆☆