同济高数 第4章 第4-3-11题

[AI解答]

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我们要求解不定积分： $$ \int x^{2} \cos x \, \mathrm{d}x $$

使用分部积分法，令 $$ u = x^{2}, \quad \mathrm{d}v = \cos x \, \mathrm{d}x $$ 则 $$ \mathrm{d}u = 2x \, \mathrm{d}x, \quad v = \sin x $$

由分部积分公式 $\int u \, \mathrm{d}v = uv - \int v \, \mathrm{d}u$ 得： $$ \int x^{2} \cos x \, \mathrm{d}x = x^{2} \sin x - \int \sin x \cdot 2x \, \mathrm{d}x = x^{2} \sin x - 2 \int x \sin x \, \mathrm{d}x $$

再对 $\int x \sin x \, \mathrm{d}x$ 用分部积分，令 $$ u = x, \quad \mathrm{d}v = \sin x \, \mathrm{d}x $$ 则 $$ \mathrm{d}u = \mathrm{d}x, \quad v = -\cos x $$ 于是 $$ \int x \sin x \, \mathrm{d}x = -x \cos x - \int (-\cos x) \, \mathrm{d}x = -x \cos x + \int \cos x \, \mathrm{d}x = -x \cos x + \sin x + C_1 $$

代回原式： $$ \int x^{2} \cos x \, \mathrm{d}x = x^{2} \sin x - 2\left( -x \cos x + \sin x + C_1 \right) = x^{2} \sin x + 2x \cos x - 2\sin x + C $$

因此结果为： $$ \boxed{(x^{2} - 2)\sin x + 2x \cos x + C} $$

难度：★★☆☆☆