同济高数 第4章 第4-3-18题
📝 题目
18． $\displaystyle{\int} \frac{\ln ^{3} x}{x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求不定积分： $$ \int \frac{\ln^3 x}{x^2} \, dx $$
**步骤1：选择分部积分法** 令 $$ u = \ln^3 x, \quad dv = \frac{1}{x^2} dx $$ 则 $$ du = 3 \ln^2 x \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{3\ln^2 x}{x} dx, \quad v = \int x^{-2} dx = -x^{-1} = -\frac{1}{x} $$
**步骤2：分部积分公式** 由分部积分公式 $$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$ 代入得 $$ \int \frac{\ln^3 x}{x^2} dx = -\frac{\ln^3 x}{x} - \int \left( -\frac{1}{x} \right) \cdot \frac{3\ln^2 x}{x} dx $$ 化简第二项： $$ = -\frac{\ln^3 x}{x} + 3 \int \frac{\ln^2 x}{x^2} dx $$
**步骤3：继续对 $\int \frac{\ln^2 x}{x^2} dx$ 分部积分** 令 $$ u = \ln^2 x, \quad dv = \frac{1}{x^2} dx $$ 则 $$ du = \frac{2\ln x}{x} dx, \quad v = -\frac{1}{x} $$ 于是 $$ \int \frac{\ln^2 x}{x^2} dx = -\frac{\ln^2 x}{x} - \int \left( -\frac{1}{x} \right) \cdot \frac{2\ln x}{x} dx = -\frac{\ln^2 x}{x} + 2 \int \frac{\ln x}{x^2} dx $$
**步骤4：再对 $\int \frac{\ln x}{x^2} dx$ 分部积分** 令 $$ u = \ln x, \quad dv = \frac{1}{x^2} dx $$ 则 $$ du = \frac{1}{x} dx, \quad v = -\frac{1}{x} $$ 所以 $$ \int \frac{\ln x}{x^2} dx = -\frac{\ln x}{x} - \int \left( -\frac{1}{x} \right) \cdot \frac{1}{x} dx = -\frac{\ln x}{x} + \int \frac{1}{x^2} dx $$ 而 $$ \int \frac{1}{x^2} dx = -\frac{1}{x} $$ 因此 $$ \int \frac{\ln x}{x^2} dx = -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} + C_1 $$
**步骤5：回代** 先代回步骤3： $$ \int \frac{\ln^2 x}{x^2} dx = -\frac{\ln^2 x}{x} + 2\left( -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} \right) = -\frac{\ln^2 x}{x} - \frac{2\ln x}{x} - \frac{2}{x} + C_2 $$ 再代回步骤2： $$ \int \frac{\ln^3 x}{x^2} dx = -\frac{\ln^3 x}{x} + 3\left( -\frac{\ln^2 x}{x} - \frac{2\ln x}{x} - \frac{2}{x} \right) + C $$ 化简得： $$ \int \frac{\ln^3 x}{x^2} dx = -\frac{\ln^3 x}{x} - \frac{3\ln^2 x}{x} - \frac{6\ln x}{x} - \frac{6}{x} + C $$ 或写成 $$ \boxed{-\frac{1}{x}\left( \ln^3 x + 3\ln^2 x + 6\ln x + 6 \right) + C} $$
难度：★★☆☆☆ （主要考察分部积分法的重复使用，思路直接但计算稍繁，熟练后不难）