同济高数 第4章 第4-3-21题

教材习题

📝 题目

21． $\displaystyle{\int}(\arcsin x)^{2} \mathrm{~d} x$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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我们要求解不定积分： $$ \int (\arcsin x)^2 \, dx $$

**步骤1：换元** 令 $ t = \arcsin x $，则 $ x = \sin t $，且 $ dx = \cos t \, dt $。 于是积分变为： $$ \int t^2 \cos t \, dt $$

**步骤2：分部积分** 设 $ u = t^2 $，$ dv = \cos t \, dt $，则 $ du = 2t \, dt $，$ v = \sin t $。 由分部积分公式： $$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$ 得： $$ \int t^2 \cos t \, dt = t^2 \sin t - \int \sin t \cdot 2t \, dt = t^2 \sin t - 2 \int t \sin t \, dt $$

**步骤3：再次分部积分** 对 $ \int t \sin t \, dt $，令 $ u = t $，$ dv = \sin t \, dt $，则 $ du = dt $，$ v = -\cos t $。 于是： $$ \int t \sin t \, dt = -t \cos t - \int (-\cos t) \, dt = -t \cos t + \int \cos t \, dt = -t \cos t + \sin t + C $$

**步骤4：回代** 因此： $$ \int t^2 \cos t \, dt = t^2 \sin t - 2(-t \cos t + \sin t) + C = t^2 \sin t + 2t \cos t - 2\sin t + C $$

**步骤5：换回原变量** 由于 $ t = \arcsin x $，有： $$ \sin t = x,\quad \cos t = \sqrt{1 - x^2} $$ 所以： $$ \int (\arcsin x)^2 \, dx = x (\arcsin x)^2 + 2 \arcsin x \cdot \sqrt{1 - x^2} - 2x + C $$

最终结果为： $$ \boxed{x (\arcsin x)^2 + 2 \sqrt{1 - x^2} \arcsin x - 2x + C} $$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：换元简化积分
令 t = arcsin x，则 x = sin t，dx = cos t dt，积分变为 ∫ t^2 cos t dt。
公式：t = arcsin x, x = sin t, dx = cos t dt
提示：换元后积分形式更易处理。
步骤 2/5
目标：第一次分部积分
设 u = t^2, dv = cos t dt，则 du = 2t dt, v = sin t。由分部积分公式得 ∫ t^2 cos t dt = t^2 sin t - 2∫ t sin t dt。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：选择 u = t^2 可降低幂次。
步骤 3/5
目标：第二次分部积分
对 ∫ t sin t dt，设 u = t, dv = sin t dt，则 du = dt, v = -cos t。得 ∫ t sin t dt = -t cos t + ∫ cos t dt = -t cos t + sin t + C。
公式：∫ t sin t dt = -t cos t + sin t + C
提示：注意符号变化。
步骤 4/5
目标：合并结果
将第二次结果代入：∫ t^2 cos t dt = t^2 sin t - 2(-t cos t + sin t) + C = t^2 sin t + 2t cos t - 2 sin t + C。
提示：整理表达式。
步骤 5/5
目标：回代原变量
由 t = arcsin x，得 sin t = x，cos t = √(1-x²)。代入得 ∫ (arcsin x)² dx = x (arcsin x)² + 2 arcsin x √(1-x²) - 2x + C。
公式：sin(arcsin x) = x, cos(arcsin x) = √(1-x²)
提示：注意定义域。

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