同济高数 第4章 第4-4-12题

[AI解答]

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我们要求解不定积分： $$ \displaystyle{\int} \frac{(x+1)^{2}}{\left(x^{2}+1\right)^{2}} \mathrm{~d} x $$

**第一步：展开分子** $$ (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 $$ 所以被积函数为： $$ \frac{x^2 + 2x + 1}{(x^2+1)^2} $$

**第二步：拆分为三个积分** $$ \int \frac{x^2}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x + 2\int \frac{x}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x + \int \frac{1}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x $$

**第三步：分别计算**

1. 第一个积分： 注意到 $$ \frac{x^2}{(x^2+1)^2} = \frac{x^2+1 - 1}{(x^2+1)^2} = \frac{1}{x^2+1} - \frac{1}{(x^2+1)^2} $$ 所以 $$ \int \frac{x^2}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x = \int \frac{1}{x^2+1} \mathrm{~d}x - \int \frac{1}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x $$

2. 第二个积分： 令 $u = x^2+1$，则 $\mathrm{d}u = 2x \mathrm{~d}x$，所以 $$ \int \frac{x}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u^2} \mathrm{~d}u = -\frac{1}{2u} = -\frac{1}{2(x^2+1)} $$

3. 第三个积分： 已知公式 $$ \int \frac{1}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x = \frac{1}{2} \arctan x + \frac{x}{2(x^2+1)} + C $$ （可由分部积分或三角代换得到）

**第四步：合并结果**

将第一个积分拆开后，原积分变为： $$ \left( \int \frac{1}{x^2+1} \mathrm{~d}x - \int \frac{1}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x \right) + 2\left( -\frac{1}{2(x^2+1)} \right) + \int \frac{1}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x $$

注意 $-\int \frac{1}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x$ 与最后的 $+\int \frac{1}{(x^2+1)^2} \mathrm{~d}x$ 抵消，于是剩下： $$ \int \frac{1}{x^2+1} \mathrm{~d}x - \frac{1}{x^2+1} $$

而 $$ \int \frac{1}{x^2+1} \mathrm{~d}x = \arctan x + C $$

**第五步：写出最终结果** $$ \boxed{\arctan x - \frac{1}{x^2+1} + C} $$

**难度评级**：★★☆☆☆ （需要拆分技巧与常见积分公式，但计算量不大，思路清晰）