同济高数 第4章 第4-4-18题
📝 题目
18． $\displaystyle{\int} \frac{\mathrm{d} x}{2 \sin x-\cos x+5}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解不定积分： $$ \int \frac{dx}{2\sin x - \cos x + 5}. $$
**步骤1：使用万能代换** 令 $$ t = \tan\frac{x}{2}, $$ 则 $$ \sin x = \frac{2t}{1+t^2},\quad \cos x = \frac{1-t^2}{1+t^2},\quad dx = \frac{2}{1+t^2}\,dt. $$ 代入原积分： $$ \int \frac{dx}{2\sin x - \cos x + 5} = \int \frac{\frac{2}{1+t^2}}{2\cdot\frac{2t}{1+t^2} - \frac{1-t^2}{1+t^2} + 5}\,dt. $$
**步骤2：化简分母** 分母通分后为： $$ \frac{4t - (1-t^2) + 5(1+t^2)}{1+t^2} = \frac{4t -1 + t^2 + 5 + 5t^2}{1+t^2} = \frac{6t^2 + 4t + 4}{1+t^2}. $$ 于是积分变为： $$ \int \frac{2}{1+t^2} \cdot \frac{1+t^2}{6t^2 + 4t + 4}\,dt = \int \frac{2}{6t^2 + 4t + 4}\,dt. $$
**步骤3：化简系数** 提取分母公因子2： $$ 6t^2 + 4t + 4 = 2(3t^2 + 2t + 2), $$ 所以 $$ \int \frac{2}{2(3t^2 + 2t + 2)}\,dt = \int \frac{1}{3t^2 + 2t + 2}\,dt. $$
**步骤4：配方** $$ 3t^2 + 2t + 2 = 3\left(t^2 + \frac{2}{3}t\right) + 2 = 3\left[(t + \frac{1}{3})^2 - \frac{1}{9}\right] + 2 = 3\left(t + \frac{1}{3}\right)^2 - \frac{1}{3} + 2 = 3\left(t + \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{5}{3}. $$ 因此 $$ \int \frac{1}{3t^2 + 2t + 2}\,dt = \int \frac{1}{3\left(t + \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{5}{3}}\,dt = \frac{1}{3} \int \frac{1}{\left(t + \frac{1}{3}\right)^2 + \frac{5}{9}}\,dt. $$
**步骤5：使用标准积分公式** $$ \int \frac{1}{u^2 + a^2}\,du = \frac{1}{a}\arctan\frac{u}{a} + C, $$ 这里 $$ u = t + \frac{1}{3},\quad a = \frac{\sqrt{5}}{3}. $$ 于是 $$ \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{a} \arctan\frac{u}{a} + C = \frac{1}{3} \cdot \frac{3}{\sqrt{5}} \arctan\frac{t + \frac{1}{3}}{\frac{\sqrt{5}}{3}} + C = \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan\frac{3t + 1}{\sqrt{5}} + C. $$
**步骤6：代回原变量** 因为 $t = \tan\frac{x}{2}$，所以 $$ \int \frac{dx}{2\sin x - \cos x + 5} = \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan\left( \frac{3\tan\frac{x}{2} + 1}{\sqrt{5}} \right) + C. $$
最终结果为： $$ \boxed{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{5}} \arctan\left( \frac{3\tan\frac{x}{2} + 1}{\sqrt{5}} \right) + C}. $$
难度：★★☆☆☆