同济高数 第4章 第4-4-2题
📝 题目
2． $\displaystyle{\int} \frac{2 x+3}{x^{2}+3 x-10} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求不定积分 $$ \int \frac{2x+3}{x^2+3x-10} \, dx. $$
**第一步：观察分母与分子的关系** 分母为 $x^2+3x-10$，其导数为 $$ \frac{d}{dx}(x^2+3x-10) = 2x+3. $$ 分子正好等于分母的导数。
**第二步：直接积分** 因此 $$ \int \frac{2x+3}{x^2+3x-10} \, dx = \int \frac{1}{x^2+3x-10} \cdot (2x+3) \, dx = \int \frac{1}{u} \, du, $$ 其中令 $u = x^2+3x-10$，则 $du = (2x+3)\,dx$。
**第三步：写出结果** 于是 $$ \int \frac{1}{u} \, du = \ln|u| + C = \ln|x^2+3x-10| + C. $$
因此 $$ \boxed{\ln|x^2+3x-10| + C}. $$
难度：★☆☆☆☆ （直接凑微分即可，无需分解因式或部分分式。）
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：观察分母与分子的关系
分母为 x^2+3x-10，其导数为 2x+3，分子正好等于分母的导数。
公式：d/dx (x^2+3x-10) = 2x+3
提示：注意分子与分母导数的关系，可考虑凑微分。
步骤 2/3
目标：直接积分
令 u = x^2+3x-10，则 du = (2x+3)dx，原积分化为 ∫ (1/u) du。
公式：∫ (2x+3)/(x^2+3x-10) dx = ∫ 1/u du
提示：凑微分后直接应用基本积分公式。
步骤 3/3
目标：写出结果
∫ 1/u du = ln|u| + C = ln|x^2+3x-10| + C。
公式：∫ 1/u du = ln|u| + C
提示：最后结果不要忘记绝对值符号和常数C。
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