同济高数 第4章 第4-4-21题
📝 题目
21． $\displaystyle{\int} \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解不定积分： $$ \int \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1} \, dx $$
**第一步：换元** 令 $$ t = \sqrt{x+1} \quad \Rightarrow \quad t^2 = x+1, \quad dx = 2t \, dt $$ 代入原积分得： $$ \int \frac{t-1}{t+1} \cdot 2t \, dt = 2 \int \frac{t(t-1)}{t+1} \, dt $$
**第二步：化简被积函数** 将分子展开： $$ t(t-1) = t^2 - t $$ 做多项式除法： $$ \frac{t^2 - t}{t+1} = \frac{(t^2 + t) - 2t}{t+1} = t - \frac{2t}{t+1} $$ 再对 $\frac{2t}{t+1}$ 做除法： $$ \frac{2t}{t+1} = 2 - \frac{2}{t+1} $$ 因此： $$ \frac{t^2 - t}{t+1} = t - \left(2 - \frac{2}{t+1}\right) = t - 2 + \frac{2}{t+1} $$
**第三步：积分** 于是原积分化为： $$ 2 \int \left( t - 2 + \frac{2}{t+1} \right) dt = 2 \left( \frac{t^2}{2} - 2t + 2\ln|t+1| \right) + C $$ 即： $$ t^2 - 4t + 4\ln|t+1| + C $$
**第四步：回代** 由 $ t = \sqrt{x+1} $，且 $ t^2 = x+1 $，得： $$ \int \frac{\sqrt{x+1}-1}{\sqrt{x+1}+1} dx = (x+1) - 4\sqrt{x+1} + 4\ln\left(\sqrt{x+1}+1\right) + C $$ 可简写为： $$ x + 1 - 4\sqrt{x+1} + 4\ln\left(\sqrt{x+1}+1\right) + C $$ 常数 $1$ 可并入常数 $C$，故最终结果为： $$ \boxed{x - 4\sqrt{x+1} + 4\ln\left(\sqrt{x+1}+1\right) + C} $$
难度：★★☆☆☆