同济高数 第4章 第4-5-10题

[AI解答]

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我们要求不定积分： $$ \int e^{-2x} \sin 3x \, dx $$

这是一个典型的指数函数与三角函数的乘积积分，使用分部积分法或解方程法。

**解法：设** $$ I = \int e^{-2x} \sin 3x \, dx $$

使用分部积分公式： $$ \int u \, dv = uv - \int v \, du $$

令： $$ u = \sin 3x, \quad dv = e^{-2x} dx $$ 则： $$ du = 3 \cos 3x \, dx, \quad v = \int e^{-2x} dx = -\frac{1}{2} e^{-2x} $$

于是： $$ I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 3x - \int \left(-\frac{1}{2} e^{-2x}\right) \cdot 3 \cos 3x \, dx $$ 化简： $$ I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 3x + \frac{3}{2} \int e^{-2x} \cos 3x \, dx $$

记： $$ J = \int e^{-2x} \cos 3x \, dx $$ 则： $$ I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 3x + \frac{3}{2} J $$

再对 $J$ 用分部积分，令： $$ u = \cos 3x, \quad dv = e^{-2x} dx $$ 则： $$ du = -3 \sin 3x \, dx, \quad v = -\frac{1}{2} e^{-2x} $$ 于是： $$ J = -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos 3x - \int \left(-\frac{1}{2} e^{-2x}\right)(-3 \sin 3x) \, dx $$ 化简： $$ J = -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos 3x - \frac{3}{2} \int e^{-2x} \sin 3x \, dx $$ 即： $$ J = -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos 3x - \frac{3}{2} I $$

将 $J$ 代入 $I$ 的表达式： $$ I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 3x + \frac{3}{2} \left( -\frac{1}{2} e^{-2x} \cos 3x - \frac{3}{2} I \right) $$ 即： $$ I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 3x - \frac{3}{4} e^{-2x} \cos 3x - \frac{9}{4} I $$

移项： $$ I + \frac{9}{4} I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 3x - \frac{3}{4} e^{-2x} \cos 3x $$ $$ \frac{13}{4} I = -\frac{1}{2} e^{-2x} \sin 3x - \frac{3}{4} e^{-2x} \cos 3x $$

两边乘以 $\frac{4}{13}$： $$ I = -\frac{2}{13} e^{-2x} \sin 3x - \frac{3}{13} e^{-2x} \cos 3x + C $$

因此： $$ \boxed{\displaystyle \int e^{-2x} \sin 3x \, dx = -\frac{e^{-2x}}{13} (2\sin 3x + 3\cos 3x) + C} $$

难度：★★☆☆☆