同济高数 第5章 第5-1-4题
📝 题目
4．利用定积分的几何意义，求下列积分： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{t} x \mathrm{~d} x(t\gt 0)$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-2}^{4}\left(\frac{x}{2}+3\right) \mathrm{d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{-1}^{2}|x| \mathrm{d} x$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{-3}^{3} \sqrt{9-x^{2}} \mathrm{~d} x$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**（1）** $\displaystyle{\int}_{0}^{t} x \mathrm{~d} x \quad (t>0)$ 被积函数 $y=x$ 在区间 $[0,t]$ 上是一条过原点的直线，与 $x$ 轴围成的图形是直角三角形，底边长 $t$，高 $t$。 由定积分的几何意义，积分值等于该三角形面积： $$ \displaystyle{\int}_{0}^{t} x \mathrm{~d} x = \frac{1}{2} \cdot t \cdot t = \frac{t^{2}}{2}. $$
**（2）** $\displaystyle{\int}_{-2}^{4}\left(\frac{x}{2}+3\right) \mathrm{d} x$ 被积函数 $\displaystyle y=\frac{x}{2}+3$ 是一条直线，在 $x=-2$ 处 $y=2$，在 $x=4$ 处 $y=5$。 该直线与 $x$ 轴及 $x=-2$、$x=4$ 围成的图形是一个梯形，上底长 $2$（$x=-2$ 处高度），下底长 $5$（$x=4$ 处高度），高为 $4-(-2)=6$。 梯形面积公式： $$ \text{面积} = \frac{(2+5)\times 6}{2} = 21. $$ 因此： $$ \displaystyle{\int}_{-2}^{4}\left(\frac{x}{2}+3\right) \mathrm{d} x = 21. $$
**（3）** $\displaystyle{\int}_{-1}^{2}|x| \mathrm{d} x$ $|x|$ 的图形关于 $y$ 轴对称，在 $[-1,0]$ 上为 $y=-x$，在 $[0,2]$ 上为 $y=x$。 积分值等于两个三角形面积之和： - 左半部分 $[-1,0]$：底边长 $1$，高 $1$，面积 $\displaystyle \frac{1}{2}\times 1\times 1 = \frac{1}{2}$。 - 右半部分 $[0,2]$：底边长 $2$，高 $2$，面积 $\displaystyle \frac{1}{2}\times 2\times 2 = 2$。 总和为： $$ \displaystyle{\int}_{-1}^{2}|x| \mathrm{d} x = \frac{1}{2} + 2 = \frac{5}{2}. $$
**（4）** $\displaystyle{\int}_{-3}^{3} \sqrt{9-x^{2}} \mathrm{~d} x$ 被积函数 $y=\sqrt{9-x^{2}}$ 表示圆心在原点、半径为 $3$ 的上半圆。 积分区间 $[-3,3]$ 正好是半圆的直径范围，因此积分值等于半径为 $3$ 的半圆面积： $$ \text{半圆面积} = \frac{1}{2} \pi \cdot 3^{2} = \frac{9\pi}{2}. $$ 所以： $$ \displaystyle{\int}_{-3}^{3} \sqrt{9-x^{2}} \mathrm{~d} x = \frac{9\pi}{2}. $$
难度：★☆☆☆☆