同济高数 第5章 第5-1-5题
📝 题目
5．设 $a\lt b$ ，问 $a, b$ 取什么值时，积分 $\displaystyle{\int}_{a}^{b}\left(x-x^{2}\right) \mathrm{d} x$ 取得最大值？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求积分 $$ I(a,b)=\displaystyle{\int}_{a}^{b}(x-x^{2})\,dx $$ 在条件 $a **第一步：分析被积函数** 被积函数为 $$ f(x)=x-x^{2}=x(1-x) $$ 这是一个开口向下的二次函数，零点在 $x=0$ 和 $x=1$，在 $x=\frac12$ 处取得最大值 $\frac14$。 函数在区间 $[0,1]$ 上为正，在区间之外为负。 **第二步：积分几何意义** 定积分表示曲线与 $x$ 轴之间在区间 $[a,b]$ 上的有向面积。 若想使积分值最大，应选取使被积函数为正且尽可能大的区间，同时避免包含负值部分。 因此最优选择是取 $a=0$，$b=1$，此时积分覆盖全部正面积，且不包含负面积。 **第三步：验证是否可能更大** 若取区间小于 $[0,1]$，则损失部分正面积； 若取区间超出 $[0,1]$，则会加入负面积，使总值减小。 因此最大值只能在 $[0,1]$ 上取到，且取整个区间时最大。 **第四步：计算最大值** $$ \displaystyle{\int}_{0}^{1}(x-x^{2})\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2} - \frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1} = \frac12 - \frac13 = \frac16 $$ **结论**： 当 $a=0$，$b=1$ 时，积分取得最大值 $\displaystyle\frac16$。 难度：★☆☆☆☆