同济高数 第5章 第5-1-*1题

教材习题

📝 题目

＊1．利用定积分的定义计算由抛物线 $y=x^{2}+1$ 、两直线 $x=a 、 x=b(b\gt a)$ 及 $x$ 轴所围成的图形的面积．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 我们使用定积分的定义来计算该曲边梯形的面积。 由抛物线 $y = x^2 + 1$、直线 $x = a$、$x = b$（其中 $b > a$）以及 $x$ 轴所围成的图形面积，即函数 $f(x) = x^2 + 1$ 在区间 $[a, b]$ 上的定积分。

**第一步：分割区间** 将区间 $[a, b]$ 分成 $n$ 个等长子区间，每个子区间长度为 $$ \Delta x = \frac{b-a}{n}. $$ 取分点为 $$ x_i = a + i \Delta x, \quad i = 0, 1, 2, \dots, n. $$

**第二步：近似求和（取右端点）** 在每个小区间 $[x_{i-1}, x_i]$ 上，取右端点 $x_i$ 的函数值作为矩形的高，则第 $i$ 个小矩形面积为 $$ f(x_i) \Delta x = \left( x_i^2 + 1 \right) \Delta x. $$ 于是面积近似为 $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} \left( x_i^2 + 1 \right) \Delta x. $$

**第三步：代入表达式并化简** 由于 $x_i = a + i \frac{b-a}{n}$，代入得 $$ S_n = \sum_{i=1}^{n} \left[ \left( a + i \frac{b-a}{n} \right)^2 + 1 \right] \cdot \frac{b-a}{n}. $$ 展开平方项： $$ \left( a + i \frac{b-a}{n} \right)^2 = a^2 + 2a \cdot i \frac{b-a}{n} + i^2 \frac{(b-a)^2}{n^2}. $$ 于是 $$ S_n = \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} \left( a^2 + 1 + 2a \frac{b-a}{n} i + \frac{(b-a)^2}{n^2} i^2 \right). $$ 将求和拆开： $$ S_n = \frac{b-a}{n} \left[ (a^2+1) \sum_{i=1}^{n} 1 + 2a \frac{b-a}{n} \sum_{i=1}^{n} i + \frac{(b-a)^2}{n^2} \sum_{i=1}^{n} i^2 \right]. $$ 利用求和公式： $$ \sum_{i=1}^{n} 1 = n, \quad \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}, \quad \sum_{i=1}^{n} i^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}. $$ 代入得 $$ S_n = \frac{b-a}{n} \left[ (a^2+1)n + 2a \frac{b-a}{n} \cdot \frac{n(n+1)}{2} + \frac{(b-a)^2}{n^2} \cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} \right]. $$ 化简： $$ S_n = (b-a)(a^2+1) + a(b-a)^2 \cdot \frac{n+1}{n} + \frac{(b-a)^3}{6} \cdot \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2}. $$

**第四步：取极限** 面积定义为 $$ S = \lim_{n \to \infty} S_n. $$ 分别计算极限： $$ \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n} = 1, \quad \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(2n+1)}{n^2} = 2. $$ 因此 $$ S = (b-a)(a^2+1) + a(b-a)^2 \cdot 1 + \frac{(b-a)^3}{6} \cdot 2. $$ 即 $$ S = (b-a)(a^2+1) + a(b-a)^2 + \frac{(b-a)^3}{3}. $$

**第五步：整理结果** 将三项合并： $$ S = (b-a)\left[ a^2+1 + a(b-a) + \frac{(b-a)^2}{3} \right]. $$ 展开括号内： $$ a^2 + 1 + a b - a^2 + \frac{b^2 - 2ab + a^2}{3} = 1 + ab + \frac{b^2 - 2ab + a^2}{3}. $$ 通分： $$ = \frac{3 + 3ab + b^2 - 2ab + a^2}{3} = \frac{a^2 + ab + b^2 + 3}{3}. $$ 所以最终面积为 $$ \boxed{S = \frac{b-a}{3} \left( a^2 + ab + b^2 + 3 \right)}. $$

**难度评级**：★★☆☆☆ （主要考察定积分定义与极限求和，计算量适中，但思路清晰，无复杂技巧。）

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：分割区间
将区间 [a, b] 分成 n 个等长子区间，每个子区间长度为 Δx = (b-a)/n，分点为 x_i = a + iΔx，i = 0,1,...,n。
公式：Δx = (b-a)/n, x_i = a + iΔx
提示：等分区间是定积分定义的标准做法。
步骤 2/5
目标：近似求和（取右端点）
在每个小区间 [x_{i-1}, x_i] 上，取右端点 x_i 的函数值作为矩形的高，则第 i 个小矩形面积为 f(x_i)Δx = (x_i^2+1)Δx，面积近似为 S_n = Σ_{i=1}^n (x_i^2+1)Δx。
公式：S_n = Σ_{i=1}^n (x_i^2+1)Δx
提示：取右端点是一种常见的取点方式，也可取左端点或中点，但极限结果相同。
步骤 3/5
目标：代入表达式并化简
将 x_i = a + i(b-a)/n 代入，展开平方，利用求和公式 Σ1=n, Σi=n(n+1)/2, Σi^2=n(n+1)(2n+1)/6，化简得到 S_n = (b-a)(a^2+1) + a(b-a)^2 (n+1)/n + (b-a)^3/6 * (n+1)(2n+1)/n^2。
公式：Σ_{i=1}^n i = n(n+1)/2, Σ_{i=1}^n i^2 = n(n+1)(2n+1)/6
提示：注意求和公式的正确使用，化简时细心。
步骤 4/5
目标：取极限
面积 S = lim_{n→∞} S_n，计算极限：lim (n+1)/n = 1，lim (n+1)(2n+1)/n^2 = 2，代入得 S = (b-a)(a^2+1) + a(b-a)^2 + (b-a)^3/3。
公式：lim_{n→∞} (n+1)/n = 1, lim_{n→∞} (n+1)(2n+1)/n^2 = 2
提示：极限计算时注意最高次项系数。
步骤 5/5
目标：整理结果
将三项合并，提取公因式 (b-a)，化简括号内表达式，最终得到 S = (b-a)/3 (a^2 + ab + b^2 + 3)。
公式：S = (b-a)/3 (a^2 + ab + b^2 + 3)
提示：最终结果可写成对称形式，便于记忆。

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