同济高数 第5章 第5-2-1题
📝 题目
1．试求函数 $y=\displaystyle{\int}_{0}^{x} \sin t \mathrm{~d} t$ 当 $x=0$ 及 $\displaystyle x=\frac{\pi}{4}$ 时的导数．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 首先，由微积分基本定理，若 $$ y = \int_{0}^{x} \sin t \, \mathrm{d}t, $$ 则 $$ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \sin x. $$
1. 当 $x = 0$ 时， $$ \left. \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{x=0} = \sin 0 = 0. $$
2. 当 $x = \frac{\pi}{4}$ 时， $$ \left. \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right|_{x=\frac{\pi}{4}} = \sin \frac{\pi}{4} = \frac{\sqrt{2}}{2}. $$
因此，所求导数值分别为 $0$ 和 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：应用微积分基本定理求导
由微积分基本定理，若 y = ∫₀ˣ sin t dt，则 dy/dx = sin x。
公式：d/dx ∫ₐˣ f(t) dt = f(x)
提示：注意积分下限为常数，上限为变量 x。
步骤 2/3
目标：计算 x=0 时的导数值
将 x=0 代入导数表达式：dy/dx = sin 0 = 0。
公式：sin 0 = 0
步骤 3/3
目标：计算 x=π/4 时的导数值
将 x=π/4 代入导数表达式：dy/dx = sin(π/4) = √2/2。
公式：sin(π/4) = √2/2
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