同济高数 第5章 第5-2-10题

教材习题

📝 题目

10．设 $k \in \mathbf{N}_{+}$．试证下列各题： （1） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \cos k x \mathrm{~d} x=0$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \sin k x \mathrm{~d} x=0$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \cos ^{2} k x \mathrm{~d} x=\pi$ ； （4） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \sin ^{2} k x \mathrm{~d} x=\pi$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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**（1）** 证明： $$ \displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi} \cos kx \, \mathrm{d}x} = \left. \frac{\sin kx}{k} \right|_{-\pi}^{\pi} = \frac{\sin(k\pi) - \sin(-k\pi)}{k} = \frac{0 - 0}{k} = 0. $$ 故原式成立。

**（2）** 证明： $$ \displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi} \sin kx \, \mathrm{d}x} = \left. -\frac{\cos kx}{k} \right|_{-\pi}^{\pi} = -\frac{\cos(k\pi) - \cos(-k\pi)}{k} = -\frac{(-1)^k - (-1)^k}{k} = 0. $$ 故原式成立。

**（3）** 证明： 利用三角恒等式 $\cos^2 kx = \frac{1+\cos 2kx}{2}$， $$ \displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi} \cos^2 kx \, \mathrm{d}x} = \frac12 \int_{-\pi}^{\pi} (1 + \cos 2kx) \, \mathrm{d}x = \frac12 \left( \int_{-\pi}^{\pi} 1 \, \mathrm{d}x + \int_{-\pi}^{\pi} \cos 2kx \, \mathrm{d}x \right). $$ 由（1）知 $\displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi} \cos 2kx \, \mathrm{d}x} = 0$，而 $\displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi} 1 \, \mathrm{d}x} = 2\pi$， 所以原式 $= \frac12 \cdot 2\pi = \pi$。

**（4）** 证明： 利用 $\sin^2 kx = \frac{1 - \cos 2kx}{2}$， $$ \displaystyle{\int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 kx \, \mathrm{d}x} = \frac12 \int_{-\pi}^{\pi} (1 - \cos 2kx) \, \mathrm{d}x = \frac12 \left( \int_{-\pi}^{\pi} 1 \, \mathrm{d}x - \int_{-\pi}^{\pi} \cos 2kx \, \mathrm{d}x \right). $$ 同样，由（1）知第二项为零，第一项为 $2\pi$，所以原式 $= \frac12 \cdot 2\pi = \pi$。

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：证明∫_{-π}^{π} cos(kx) dx = 0
计算定积分：∫_{-π}^{π} cos(kx) dx = [sin(kx)/k]_{-π}^{π} = (sin(kπ) - sin(-kπ))/k = (0-0)/k = 0。
公式：∫ cos(kx) dx = sin(kx)/k
提示：注意sin(kπ)=0对任意整数k成立。
步骤 2/4
目标：证明∫_{-π}^{π} sin(kx) dx = 0
计算定积分：∫_{-π}^{π} sin(kx) dx = [-cos(kx)/k]_{-π}^{π} = -(cos(kπ) - cos(-kπ))/k = -((-1)^k - (-1)^k)/k = 0。
公式：∫ sin(kx) dx = -cos(kx)/k
提示：注意cos(kπ)=(-1)^k，且cos为偶函数。
步骤 3/4
目标：证明∫_{-π}^{π} cos^2(kx) dx = π
利用恒等式cos^2(kx)=(1+cos(2kx))/2，则积分=1/2 ∫_{-π}^{π} (1+cos(2kx)) dx = 1/2 (∫_{-π}^{π} 1 dx + ∫_{-π}^{π} cos(2kx) dx)。由(1)知∫_{-π}^{π} cos(2kx) dx=0，而∫_{-π}^{π} 1 dx=2π，故原式=1/2 * 2π = π。
公式：cos^2θ = (1+cos2θ)/2
提示：利用倍角公式降幂。
步骤 4/4
目标：证明∫_{-π}^{π} sin^2(kx) dx = π
利用恒等式sin^2(kx)=(1-cos(2kx))/2，则积分=1/2 ∫_{-π}^{π} (1-cos(2kx)) dx = 1/2 (∫_{-π}^{π} 1 dx - ∫_{-π}^{π} cos(2kx) dx)。由(1)知第二项为0，第一项为2π，故原式=1/2 * 2π = π。
公式：sin^2θ = (1-cos2θ)/2
提示：类似(3)利用倍角公式。

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