同济高数 第5章 第5-2-11题

教材习题

📝 题目

11．设 $k, l \in \mathbf{N}_{+}$，且 $k \neq l$ ．证明： （1） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \cos k x \sin l x \mathrm{~d} x=0$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \cos k x \cos l x \mathrm{~d} x=0$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \sin k x \sin l x \mathrm{~d} x=0$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答]

我们证明三个正交性积分，其中 $k,l\in\mathbb{N}_+$ 且 $k\neq l$。

**(1)** 证明 $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \cos kx \sin lx \, \mathrm{d}x = 0$。

利用积化和差公式： $$ \cos kx \sin lx = \frac{1}{2} \big[ \sin((l+k)x) + \sin((l-k)x) \big]. $$ 于是 $$ \int_{-\pi}^{\pi} \cos kx \sin lx \, \mathrm{d}x = \frac12 \int_{-\pi}^{\pi} \sin((l+k)x) \, \mathrm{d}x + \frac12 \int_{-\pi}^{\pi} \sin((l-k)x) \, \mathrm{d}x. $$ 由于 $l+k \neq 0$ 且 $l-k \neq 0$（因为 $k\neq l$ 且均为正整数），正弦函数在对称区间上的积分为零： $$ \int_{-\pi}^{\pi} \sin(mx) \, \mathrm{d}x = 0,\quad m\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}. $$ 因此原积分为零。

**(2)** 证明 $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \cos kx \cos lx \, \mathrm{d}x = 0$。

利用积化和差公式： $$ \cos kx \cos lx = \frac12 \big[ \cos((k+l)x) + \cos((k-l)x) \big]. $$ 于是 $$ \int_{-\pi}^{\pi} \cos kx \cos lx \, \mathrm{d}x = \frac12 \int_{-\pi}^{\pi} \cos((k+l)x) \, \mathrm{d}x + \frac12 \int_{-\pi}^{\pi} \cos((k-l)x) \, \mathrm{d}x. $$ 由于 $k+l \neq 0$，且 $k-l \neq 0$，余弦函数在对称区间上的积分为零： $$ \int_{-\pi}^{\pi} \cos(mx) \, \mathrm{d}x = 0,\quad m\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}. $$ 因此原积分为零。

**(3)** 证明 $\displaystyle{\int}_{-\pi}^{\pi} \sin kx \sin lx \, \mathrm{d}x = 0$。

利用积化和差公式： $$ \sin kx \sin lx = \frac12 \big[ \cos((k-l)x) - \cos((k+l)x) \big]. $$ 于是 $$ \int_{-\pi}^{\pi} \sin kx \sin lx \, \mathrm{d}x = \frac12 \int_{-\pi}^{\pi} \cos((k-l)x) \, \mathrm{d}x - \frac12 \int_{-\pi}^{\pi} \cos((k+l)x) \, \mathrm{d}x. $$ 由于 $k-l \neq 0$ 且 $k+l \neq 0$，每个余弦积分均为零，故原积分为零。

综上，三个积分均成立。

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：证明 ∫_{-π}^{π} cos(kx) sin(lx) dx = 0
利用积化和差公式：cos(kx) sin(lx) = 1/2 [ sin((l+k)x) + sin((l-k)x) ]。则积分化为 1/2 ∫_{-π}^{π} sin((l+k)x) dx + 1/2 ∫_{-π}^{π} sin((l-k)x) dx。由于 l+k ≠ 0 且 l-k ≠ 0，正弦函数在对称区间上的积分为零，故原积分为零。
公式：cos(kx) sin(lx) = 1/2 [ sin((l+k)x) + sin((l-k)x) ]；∫_{-π}^{π} sin(mx) dx = 0 (m∈Z\{0})
提示：注意 k≠l 且为正整数，确保 l±k 非零。
步骤 2/3
目标：证明 ∫_{-π}^{π} cos(kx) cos(lx) dx = 0
利用积化和差公式：cos(kx) cos(lx) = 1/2 [ cos((k+l)x) + cos((k-l)x) ]。则积分化为 1/2 ∫_{-π}^{π} cos((k+l)x) dx + 1/2 ∫_{-π}^{π} cos((k-l)x) dx。由于 k+l ≠ 0 且 k-l ≠ 0，余弦函数在对称区间上的积分为零，故原积分为零。
公式：cos(kx) cos(lx) = 1/2 [ cos((k+l)x) + cos((k-l)x) ]；∫_{-π}^{π} cos(mx) dx = 0 (m∈Z\{0})
提示：注意 k≠l 且为正整数，确保 k±l 非零。
步骤 3/3
目标：证明 ∫_{-π}^{π} sin(kx) sin(lx) dx = 0
利用积化和差公式：sin(kx) sin(lx) = 1/2 [ cos((k-l)x) - cos((k+l)x) ]。则积分化为 1/2 ∫_{-π}^{π} cos((k-l)x) dx - 1/2 ∫_{-π}^{π} cos((k+l)x) dx。由于 k-l ≠ 0 且 k+l ≠ 0，每个余弦积分均为零，故原积分为零。
公式：sin(kx) sin(lx) = 1/2 [ cos((k-l)x) - cos((k+l)x) ]；∫_{-π}^{π} cos(mx) dx = 0 (m∈Z\{0})
提示：注意 k≠l 且为正整数，确保 k±l 非零。

📷 拍照上传批改

拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。
← 第5-2-10题 返回列表 第5-2-12题 →