同济高数 第5章 第5-2-3题
📝 题目
3．求由 $\displaystyle{\int}_{0}^{y} \mathrm{e}^{t} \mathrm{~d} t+\displaystyle{\int}_{0}^{x} \cos t \mathrm{~d} t=0$ 所确定的隐函数对 $x$ 的导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
由已知方程： $$ \int_{0}^{y} e^{t} \, dt + \int_{0}^{x} \cos t \, dt = 0 $$
首先计算两个定积分： $$ \int_{0}^{y} e^{t} \, dt = e^{y} - 1 $$ $$ \int_{0}^{x} \cos t \, dt = \sin x $$
因此原方程化为： $$ e^{y} - 1 + \sin x = 0 $$ 即 $$ e^{y} = 1 - \sin x $$
两边对 $x$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数： $$ e^{y} \cdot \frac{dy}{dx} = -\cos x $$
于是解得： $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{\cos x}{e^{y}} $$
又由 $e^{y} = 1 - \sin x$，代入得： $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{\cos x}{1 - \sin x} $$
因此隐函数的导数为： $$ \boxed{\frac{dy}{dx} = -\frac{\cos x}{1 - \sin x}} $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：计算两个定积分
计算 ∫₀ʸ e^t dt = e^y - 1，∫₀ˣ cos t dt = sin x。
公式：∫₀ᵃ e^t dt = e^a - 1，∫₀ᵃ cos t dt = sin a
提示：注意积分变量与上下限的区别。
步骤 2/5
目标：化简方程
将积分结果代入原方程得 e^y - 1 + sin x = 0，即 e^y = 1 - sin x。
步骤 3/5
目标：对x求导
方程两边对x求导，注意y是x的函数：e^y * dy/dx = -cos x。
公式：d/dx(e^y) = e^y * dy/dx
提示：隐函数求导时，y视为中间变量。
步骤 4/5
目标：解出导数
由 e^y * dy/dx = -cos x 得 dy/dx = -cos x / e^y。
步骤 5/5
目标：代入消去e^y
利用 e^y = 1 - sin x 代入得 dy/dx = -cos x / (1 - sin x)。
提示：最终结果应不含y。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。