同济高数 第5章 第5-3-3题
📝 题目
3．证明： $\displaystyle{\int}_{x}^{1} \frac{\mathrm{~d} t}{1+t^{2}}=\displaystyle{\int}_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{\mathrm{~d} t}{1+t^{2}}(x\gt 0)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 要证明： $$ \int_{x}^{1} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^{2}} = \int_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^{2}}, \quad x>0 $$
**证明步骤**：
1. 考虑左边积分 $$ I = \int_{x}^{1} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^{2}} $$ 作变量代换：令 $ t = \frac{1}{u} $，则 $$ \mathrm{d}t = -\frac{1}{u^{2}} \mathrm{d}u $$ 当 $ t = x $ 时，$ u = \frac{1}{x} $；当 $ t = 1 $ 时，$ u = 1 $。
2. 代入积分得 $$ I = \int_{u = \frac{1}{x}}^{1} \frac{1}{1+\left(\frac{1}{u}\right)^{2}} \cdot \left(-\frac{1}{u^{2}}\right) \mathrm{d}u $$ 化简被积函数： $$ \frac{1}{1+\frac{1}{u^{2}}} = \frac{1}{\frac{u^{2}+1}{u^{2}}} = \frac{u^{2}}{1+u^{2}} $$ 因此 $$ I = \int_{\frac{1}{x}}^{1} \frac{u^{2}}{1+u^{2}} \cdot \left(-\frac{1}{u^{2}}\right) \mathrm{d}u = \int_{\frac{1}{x}}^{1} -\frac{1}{1+u^{2}} \mathrm{d}u $$
3. 交换积分上下限，去掉负号： $$ I = \int_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{1}{1+u^{2}} \mathrm{d}u $$ 将积分变量 $ u $ 改回 $ t $，即得 $$ \int_{x}^{1} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^{2}} = \int_{1}^{\frac{1}{x}} \frac{\mathrm{d} t}{1+t^{2}} $$ 证毕。
难度：★☆☆☆☆