同济高数 第5章 第5-3-6题

教材习题

📝 题目

6．若 $f(t)$ 是连续的奇函数，证明 $\displaystyle{\int}_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是偶函数；若 $f(t)$ 是连续的偶函数，证明 $\displaystyle{\int}_{0}^{x} f(t) \mathrm{d} t$ 是奇函数．

💡 答案解析

[AI解答]

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我们设 $$ F(x) = \int_{0}^{x} f(t) \, \mathrm{d}t $$ 其中 $f(t)$ 连续。

**情形1：** $f(t)$ 是奇函数，即 $f(-t) = -f(t)$。 要证明 $F(x)$ 是偶函数，即 $F(-x) = F(x)$。

计算 $$ F(-x) = \int_{0}^{-x} f(t) \, \mathrm{d}t $$ 令 $t = -u$，则 $\mathrm{d}t = -\mathrm{d}u$，当 $t=0$ 时 $u=0$，当 $t=-x$ 时 $u=x$，于是 $$ F(-x) = \int_{0}^{x} f(-u) (-\mathrm{d}u) = \int_{0}^{x} (-f(u)) (-\mathrm{d}u) = \int_{0}^{x} f(u) \, \mathrm{d}u = F(x) $$ 因此 $F(x)$ 是偶函数。

**情形2：** $f(t)$ 是偶函数，即 $f(-t) = f(t)$。 要证明 $F(x)$ 是奇函数，即 $F(-x) = -F(x)$。

同样 $$ F(-x) = \int_{0}^{-x} f(t) \, \mathrm{d}t $$ 令 $t = -u$，则 $$ F(-x) = \int_{0}^{x} f(-u) (-\mathrm{d}u) = \int_{0}^{x} f(u) (-\mathrm{d}u) = -\int_{0}^{x} f(u) \, \mathrm{d}u = -F(x) $$ 因此 $F(x)$ 是奇函数。

证毕。

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：设F(x)并明确已知条件
设 F(x) = ∫₀ˣ f(t) dt，其中 f(t) 连续。分两种情况证明。
公式：F(x) = ∫₀ˣ f(t) dt
提示：注意积分上限是变量x，被积函数f(t)的奇偶性已知。
步骤 2/4
目标：情形1：f为奇函数，证明F为偶函数
已知 f(-t) = -f(t)。要证 F(-x) = F(x)。计算 F(-x) = ∫₀⁻ˣ f(t) dt，令 t = -u，则 dt = -du，积分限变为 u 从 0 到 x，代入得 F(-x) = ∫₀ˣ f(-u)(-du) = ∫₀ˣ (-f(u))(-du) = ∫₀ˣ f(u) du = F(x)。
公式：F(-x) = ∫₀⁻ˣ f(t) dt = ∫₀ˣ f(u) du = F(x)
提示：换元时注意积分限的变化和负号的抵消。
步骤 3/4
目标：情形2：f为偶函数，证明F为奇函数
已知 f(-t) = f(t)。要证 F(-x) = -F(x)。计算 F(-x) = ∫₀⁻ˣ f(t) dt，令 t = -u，则 dt = -du，积分限 u 从 0 到 x，代入得 F(-x) = ∫₀ˣ f(-u)(-du) = ∫₀ˣ f(u)(-du) = -∫₀ˣ f(u) du = -F(x)。
公式：F(-x) = ∫₀⁻ˣ f(t) dt = -∫₀ˣ f(u) du = -F(x)
提示：注意偶函数性质 f(-u)=f(u) 以及负号的处理。
步骤 4/4
目标：总结结论
因此，若f是连续的奇函数，则∫₀ˣ f(t) dt是偶函数；若f是连续的偶函数，则∫₀ˣ f(t) dt是奇函数。
提示：该结论常用于简化积分计算。

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