同济高数 第5章 第5-5-3题

教材习题

📝 题目

3．用 $\Gamma$ 函数表示下列积分，并指出这些积分的收敛范围： （1） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{n}} \mathrm{~d} x(n\gt 0)$ ； （2） $\displaystyle{\int}_{0}^{1}\left(\ln \frac{1}{x}\right)^{p} \mathrm{~d} x$ ； （3） $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} x^{m} \mathrm{e}^{-x^{n}} \mathrm{~d} x(n \neq 0)$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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**（1）** $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} \mathrm{e}^{-x^{n}} \mathrm{~d} x \quad (n>0)$

令 $t = x^n$，则 $x = t^{1/n}$，$\displaystyle \mathrm{d}x = \frac{1}{n} t^{\frac{1}{n}-1} \mathrm{d}t$，且当 $x:0\to+\infty$ 时 $t:0\to+\infty$。

于是 $$ \int_{0}^{+\infty} e^{-x^n} \mathrm{d}x = \int_{0}^{+\infty} e^{-t} \cdot \frac{1}{n} t^{\frac{1}{n}-1} \mathrm{d}t = \frac{1}{n} \int_{0}^{+\infty} t^{\frac{1}{n}-1} e^{-t} \mathrm{d}t = \frac{1}{n} \Gamma\!\left(\frac{1}{n}\right). $$

收敛范围：由 $\Gamma$ 函数的定义，要求 $\displaystyle \frac{1}{n} > 0$，即 $n>0$，与题设一致，故收敛域为 $n>0$。

**（2）** $\displaystyle{\int}_{0}^{1}\left(\ln \frac{1}{x}\right)^{p} \mathrm{~d} x$

令 $\displaystyle t = \ln\frac{1}{x} = -\ln x$，则 $x = e^{-t}$，$\mathrm{d}x = -e^{-t}\mathrm{d}t$，当 $x:0\to 1$ 时 $t:+\infty \to 0$，所以 $$ \int_{0}^{1} \left(\ln\frac{1}{x}\right)^p \mathrm{d}x = \int_{+\infty}^{0} t^p (-e^{-t})\mathrm{d}t = \int_{0}^{+\infty} t^p e^{-t} \mathrm{d}t = \Gamma(p+1). $$

收敛范围：要求 $p+1 > 0$，即 $p > -1$。

**（3）** $\displaystyle{\int}_{0}^{+\infty} x^{m} \mathrm{e}^{-x^{n}} \mathrm{~d} x \quad (n \neq 0)$

令 $t = x^n$，则 $x = t^{1/n}$，$\displaystyle \mathrm{d}x = \frac{1}{n} t^{\frac{1}{n}-1} \mathrm{d}t$，且 $x^{m} = t^{m/n}$，于是 $$ \int_{0}^{+\infty} x^{m} e^{-x^{n}} \mathrm{d}x = \int_{0}^{+\infty} t^{m/n} e^{-t} \cdot \frac{1}{n} t^{\frac{1}{n}-1} \mathrm{d}t = \frac{1}{n} \int_{0}^{+\infty} t^{\frac{m+1}{n} - 1} e^{-t} \mathrm{d}t = \frac{1}{n} \Gamma\!\left(\frac{m+1}{n}\right). $$

收敛范围：要求 $\displaystyle \frac{m+1}{n} > 0$。 - 若 $n>0$，则要求 $m+1 > 0$，即 $m > -1$； - 若 $n<0$，则要求 $m+1 < 0$，即 $m < -1$。

**难度评级：** ★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：将积分转化为Gamma函数形式
令 t = x^n，则 x = t^{1/n}，dx = (1/n) t^{1/n - 1} dt，积分限不变。代入得 ∫_0^∞ e^{-x^n} dx = (1/n) ∫_0^∞ t^{1/n - 1} e^{-t} dt = (1/n) Γ(1/n)。
公式：Γ(z) = ∫_0^∞ t^{z-1} e^{-t} dt
提示：注意变量替换后幂次的变化。
步骤 2/6
目标：确定收敛范围
由Gamma函数定义，要求 1/n > 0，即 n > 0，与题设一致。
提示：Gamma函数在参数大于0时收敛。
步骤 3/6
目标：将积分转化为Gamma函数形式
令 t = ln(1/x) = -ln x，则 x = e^{-t}，dx = -e^{-t} dt，积分限 x:0→1 对应 t:+∞→0。代入得 ∫_0^1 (ln(1/x))^p dx = ∫_0^∞ t^p e^{-t} dt = Γ(p+1)。
公式：Γ(z) = ∫_0^∞ t^{z-1} e^{-t} dt
提示：注意积分限变换时负号的处理。
步骤 4/6
目标：确定收敛范围
要求 p+1 > 0，即 p > -1。
提示：Gamma函数参数需大于0。
步骤 5/6
目标：将积分转化为Gamma函数形式
令 t = x^n，则 x = t^{1/n}，dx = (1/n) t^{1/n - 1} dt，x^m = t^{m/n}。代入得 ∫_0^∞ x^m e^{-x^n} dx = (1/n) ∫_0^∞ t^{(m+1)/n - 1} e^{-t} dt = (1/n) Γ((m+1)/n)。
公式：Γ(z) = ∫_0^∞ t^{z-1} e^{-t} dt
提示：注意n≠0，需分情况讨论。
步骤 6/6
目标：确定收敛范围
要求 (m+1)/n > 0。若 n>0，则 m+1>0 即 m>-1；若 n<0，则 m+1<0 即 m<-1。
提示：分母n的正负影响不等号方向。

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